Observe que [math] \large A\vec{x}=\lambda \vec{x} [/math] es una ecuación no lineal; [math] \large \lambda [/math] multiplica a [math] \large \vec{x} [/math] . Si fuese posible encontrar[br][math] \large \lambda [/math] , entonces la ecuación para [math] \large \vec{x}[/math] sería lineal. De hecho, en lugar de[math] \large \lambda\vec{x} [/math] podría escribirse [math] \large \lambda I\vec{x} [/math] , y pasar este término al miembro izquierdo: [br][br][br][br][center][br][math] \large (A - \lambda I )\vec{x}= 0 [/math] [br][/center][br][br]La matriz identidad preserva matrices y preserva rectos a los vectores; la ecuación [math] \large (A - \lambda I )\vec{x}= 0 [/math] es más corta, pero está mezclada. Esta es la clave del problema:[br][br][b][br]El vector [math] \vec{x} [/math] está en el espacio nulo de [math] \large (A - \lambda I ) [/math] [br]El número [math] \large \lambda [/math] se selecciona de manera que [math] \large (A - \lambda I ) [/math] tenga un espacio nulo.[br][/b][br][br]Por supuesto toda matriz tiene un espacio nulo,pero el lector puede darse cuenta de este asunto. Se busca un vector característico [math] \large \vec{x} [/math] distinto de cero. El vector [math] \large \vec{x} = 0 [/math] siempre satisface [math] \large A\vec{x}=\lambda \vec{x} [/math],.Para que sea útil, el espacio nulo de [math] \large A- \lambda I [/math] debe contener vectores diferentes de cero. En breve, [math] \large A- \lambda I [/math] debe ser singular. Para el efecto, el determinante proporciona una prueba concluyente.[br][br][b][br]El número [math] \large \lambda [/math] es un valor carácterístico de A si y solo si [math] \large A-\lambda I [/math] es singular:[br][br][center] [math] \large det(A -\lambda I )=0 [/math] [/center][br][br]Esta es la ecuación característica. cada [math] \large \lambda [/math] está asociada con vectores característicos [math] \large \vec{x} [/math]:[br][br][center] [math] \large (A - \lambda I \vec{x})=0[/math] ó [math] \large A\vec{x}= \lambda \vec{x} [/math] [/center][br][br][/b]