Im Dreieck [math]ABC[/math] mit dem Schwerpunkt [math]S[/math] gilt: [math]A(1|2)[/math]; [math]B(10|-1)[/math]; [math]S(5|3)[/math][br][br][b]b) Berechne die Koordinaten des Eckpunktes C.[/b][br][br]Der Schwerpunkt [math]S[/math] eines Dreiecks wird berechnet mit der Formel:[br][math]S\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\ \bigg|\ \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)[/math][br][br]Wir setzen die Werte ein:[br][math]S_x=\frac{x_A+x_B+x_C}{3} \quad \text{und} \quad S_y=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}[/math][br][br]Um [math]x_C[/math] und [math]y_C[/math] zu berechnen, lösen wir nach [math]x_C[/math] und [math]y_C[/math] auf:[br][math]x_C=3\cdot S_x - x_A - x_B[/math][br][math]y_C=3\cdot S_y - y_A - y_B[/math][br][br]Einsetzen der Werte:[br][math]x_C=3\cdot 5 - 1 - 10 = 15 - 11 = 4[/math][br][math]y_C=3\cdot 3 - 2 - (-1) = 9 - 2 + 1 = 8[/math][br][br]Somit sind die Koordinaten von [math]C[/math]:[br][math]C(4|8)[/math]

[br]Die Mittelpunkte werden wie folgt berechnet:[br][br][math]M_a\left(\frac{x_B+x_C}{2}\middle|\frac{y_B+y_C}{2}\right)[/math][br][math]M_b\left(\frac{x_A+x_C}{2}\middle|\frac{y_A+y_C}{2}\right)[/math][br][math]M_c\left(\frac{x_A+x_B}{2}\middle|\frac{y_A+y_B}{2}\right)[/math][br][br]Berechnung der Mittelpunkte:[br][br]Für [math]M_a[/math] (Mittelpunkt von [math]B[/math] und [math]C[/math]):[br][math]M_a\left(\frac{10+4}{2}\middle|\frac{-1+8}{2}\right) \longrightarrow M_a\left(\frac{14}{2}\middle|\frac{7}{2}\right)\longrightarrow M_a(7|3,5)[/math][br][br]Für [math]M_b[/math] (Mittelpunkt von [math]A[/math] und [math]C[/math]):[br][math]M_b\left(\frac{1+4}{2}\middle|\frac{2+8}{2}\right)\longrightarrow M_b\left(\frac{5}{2}\middle|\frac{10}{2}\right)\longrightarrow M_b(2,5|5)[/math][br][br]Für [math]M_c[/math] (Mittelpunkt von [math]A[/math] und [math]B[/math]):[br][math]M_c\left(\frac{1+10}{2}\middle|\frac{2+(-1)}{2}\right)\longrightarrow M_c\left(\frac{11}{2}\middle|\frac{1}{2}\right)\longrightarrow M_c(5,5|0,5)[/math][br][br]Die Ergebnisse sind:[br][br][math]M_a(7|3,5),\quad M_b(2,5|5),\quad M_c(5,5|0,5)[/math]

[br][b]d) Berechne den prozentualen Anteil des Flächeninhalts des Dreiecks [math]M_aM_bM_c[/math] am Flächeninhalt des Dreiecks [math]ABC[/math].[/b][br][br]Wir berechnen die Flächeninhalte mit der Vektor-Determinantenformel:[br][math]A=\frac{1}{2}\left|x_u\cdot y_v-x_v\cdot y_u\right|[/math] FE[br][br][b]1. Flächeninhalt von [math]\triangle ABC[/math] über [math]\vec{AB}[/math] und [math]\vec{AC}[/math][/b][br][math]\vec{AB}=\binom{10-1}{-1-2}=\binom{9}{-3}[/math][br][math]\vec{AC}=\binom{4-1}{8-2}=\binom{3}{6}[/math][br]Setze [math]u=\vec{AB}[/math], [math]v=\vec{AC}[/math]:[br][math]A_{ABC}=\frac{1}{2}\left|9\cdot 6-3\cdot(-3)\right|[/math] FE[br][math]=\frac{1}{2}\left|54+9\right|[/math] FE[br][math]=\frac{1}{2}\left|63\right|[/math] FE[br][math]=31,5[/math] FE[br][br][b]2. Flächeninhalt von [math]\triangle M_aM_bM_c[/math] über [math]\vec{M_aM_b}[/math] und [math]\vec{M_aM_c}[/math][/b][br]Gegeben (aus b): [math]M_a(7|3,5)[/math], [math]M_b(2,5|5)[/math], [math]M_c(5,5|0,5)[/math].[br][math]\vec{M_aM_b}=\binom{2,5-7}{5-3,5}=\binom{-4,5}{1,5}[/math][br][math]\vec{M_aM_c}=\binom{5,5-7}{0,5-3,5}=\binom{-1,5}{-3,0}[/math][br]Setze [math]u=\vec{M_aM_b}[/math], [math]v=\vec{M_aM_c}[/math]:[br][math]A_{M_aM_bM_c}=\frac{1}{2}\left|(-4,5)\cdot(-3,0)-(-1,5)\cdot 1,5\right|[/math] FE[br][math]=\frac{1}{2}\left|13,5-(-2,25)\right|[/math] FE[br][math]=\frac{1}{2}\left|15,75\right|[/math] FE[br][math]=7,875[/math] FE[br][br][b]3. Prozentualer Anteil[/b][br][math]\text{Anteil}=\frac{A_{M_aM_bM_c}}{A_{ABC}}\cdot 100\%=\frac{7,875}{31,5}\cdot 100\%=25\%[/math][br]Ergebnis: [math]A_{M_aM_bM_c}[/math] beträgt 25% von [math]A_{ABC}[/math].