Aufgearbeitete Aufgaben der Mathematik-Olympiade
Dieses Buch enthält zehn für den Einsatz im Regelunterricht aufgearbeitete Aufgaben der Mathematik-Olympiade. Die Aufgaben stammen aus unterschiedlichen Jahren und Runden des Wettbewerbs für die siebte und achte Klasse.
Table of Contents
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- 460733
- 460733a
- 460733b
- 500724
- 500724
- 260835
- 260835 a
- 260835 b
- 260835 c
- 420836
- 420836a
- 420836b
- 490832
- 490832a
- 490832b
- 480842
- 480842a
- 480842b
- 530832
- 530832a
- 530832 b
- 530832c
- 500836
- 500836a
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- 400842
- 400842
420733
In der Abbildung ist ein Rechteck [i]ABCD [/i]sowie vier Geraden durch seine Eckpunkte zu sehen. Die Punkte [i]E[/i], [i]F, G[/i] und [i]H [/i]sind die Schnittpunkte dieser Geraden.[br][br]Zieh an den blauen Punkten und verändere die Geraden. Schaffst du es, das Viereck [i]EFGH [/i]ein Quadrat werden zu lassen? Formuliere deine Beobachtungen!
Ziehe nun an Punkt [i]A [/i]und verändere das Rechteck [i]ABCD[/i].[br][br]Welche besonderen Geraden sind die Geraden durch die Eckpunkte von [i]ABCD[/i]?
Die vier Geraden sind also die Winkelhalbierenden des Rechtecks [i]ABCD[/i].[br][br]Begründe: Das Dreieck [i]BCF [/i]ist gleichschenklig.
Begründe: Das Dreieck [i]BCF [/i]ist rechtwinklig.
Begründe: Der Winkel [math]\angle GFE[/math] ist ein rechter Winkel.
Begründe: [math]\angle HGF[/math] ist ein rechter Winkel. [br]Hinweis! Bewege den Schieberegler, um zwei Hinweise angezeigt zu bekommen!
Begründe: Das Viereck [i]EFGH [/i]ist ein Rechteck.
Damit haben wir gezeigt, dass [i]EFGH [/i]ein Rechteck ist. [br][br]Was muss gelten, damit [i]EFGH [/i]ein Quadrat ist? [br]Was muss also noch gezeigt werden?
Begründe: Die Dreiecke [i]ABG [/i]und [i]DCF [/i]sind kongruent.
Begründe: Die Strecken [i]GF [/i]und [i]EF [/i]sind gleich lang.
Begründe: [i]EFGH [/i]ist ein Quadrat.
Zusatzaufgabe:[br]Berechne den Flächeninhalt des Quadrates [i]EFGH [/i]für |AB|=8cm und |BC|=5cm .
Rückblick
Rückblick: Wir haben gezeigt, dass das Viereck [i]EFGH[/i], welches aus den Schnittpunkten der Winkelhalbierenden im Rechteck [i]ABCD [/i]besteht, ein Quadrat ist. [br]Mache dir klar, welche Schritte dabei für dich wichtig waren und was du beim Bearbeiten dieser Aufgabe mitgenommen hast.
460733a
Betrachte das Dreieck [i]ABC [/i]mit [i]M [/i]als Mittelpunkt der Seite [i]AB[/i]. Ist das Dreieck ein besonderes Dreieck? Formuliere deine Vermutungen!
Das Dreieck ABC ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck.[br][br][br]Konstruiere in der folgenden Abbildung das Lot von [i]M [/i]auf [i]AC [/i]und nenne [i]G (rechtsklick) [/i]den Fußpunkt des Lotes auf [i]AC[/i]. [br]Konstruiere das Lot von [i]M [/i]auf [i]BC [/i]und nenne [i]F [/i]den Fußpunkt des Lotes auf [i]BC[/i].[br][br][br]Welche neuen Figuren entstehen? Formuliere deine Vermutungen!
Begründe: [i]MBF [/i]und [i]AMG [/i]bilden rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke.[br][br]
Begründe[i]: MFCG [/i]ist ein Quadrat.
Mathematisiere die folgende Aussage indem du eine Gleichung aufstellst:[br][br]Die Summe der Flächeninhalte der Dreiecke [i]AMG [/i]und [i]MBF [/i]ist halb so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks [i]ABC[/i].
Begründe die Gültigkeit dieser Aussage!
Wie groß ist der Umfang des Dreiecks [i]AMG [/i]in Relation zum Umfang des Dreiecks [i]ABC[/i]?[br][br]Stelle den Zusammenhang in einer Gleichung dar!
500724
Beschreibe die Abbildung! Verändere das Dreieck [i]ABC[/i], indem du Punkt [i]B [/i]bewegst.[br][br]Sind [i] i [/i]und [i]j[/i] besonderen Geraden? [br][br]Formuliere zunächst deine Vermutung und betrachte anschließend die Antwortmöglichkeiten![br][br][br]
Findest du besondere Dreiecke in der Abbildung?[br]Formuliere deine Vermutungen!
Die Geraden[i] i [/i]und [i]j [/i]sind Winkelhalbierende der Winkel <[i]BAC [/i]sowie <[i]ADB.[br][/i][br]Fertige eine Skizze an und bestimme nacheinander alle Winkelgrößen in der Figur! ( Ohne Hilfe von GeoGebra! )[br]--> Lösung am Ende der Seite[br][br]Kannst du begründen, dass das Dreieck [i]ADB[/i] gleichschenklig ist?
Nutze in der oberen Abbildung das Werkzeug [i]Kreis um Mittelpunkt durch Punkt [/i]und ziehe verschiedene Kreise. Findest du Besonderheiten? Erläutere deine Beobachtungen!
Wie lang ist die Strecke[i] AB[/i] im Verhältnis zu [i]AC[/i]?[br]Begründe!
Welche Strecken in der Figur sind gleich lang?[br]Begründe deine Aussage!
Findest du kongruente Dreiecke?[br]Begründe deine Aussage!
Was wurde der Abbildung hinzugefügt?[br]Erkennst du weitere besondere geometrische Figuren?[br]Formuliere deine Vermutungen!
Das Dreieck [i]AEC[/i] sieht aus wie ein gleichseitiges Dreieck. Es wurde jedoch noch nicht bewiesen, dass es wirklich gleichseitig ist.[br][br]Begründe, dass [i]AEC [/i]ein gleichseitiges Dreieck ist![br][br]Hinweis: Wir wissen, dass die Seiten [i]AE[/i] und [i]AC[/i] gleich lang sind und dass der Winkel [math]\angle EAC[/math]=60° groß ist.
Lösung Winkelgrößen
Rückblick
Rückblick: [br]Wir haben gezeigt dass das Dreieck [i]AEC [/i]gleichseitig und das Dreieck [i]EBC [/i]gleichschenklig ist. [br]Mache dir klar, welche Schritte dabei für dich wichtig waren und was du beim Bearbeiten dieser Aufgabe mitgenommen hast!
260835 a
Zu sehen ist ein Dreieck [i]ABC[/i] sowie eine Gerade [i]g[/i].[br]Verändere das Dreieck [i]ABC[/i], indem du drei Eckpunkte bewegst. [br]Was beobachtest du? Formuliere deine Vermutungen!
Der Punkt [i]D[/i] ist der Schnittpunkt der Gerade mit der Seite [i]AB[/i] des gleichschenkligen Dreiecks.[br]Was kannst du zu den Strecken [i]AD[/i] sowie [i]DB[/i] sagen? Formuliere deine Vermutung![br]Was ist das Besondere an der Gerade [i]g[/i] ?
Betrachte die Innenwinkel [math]\alpha[/math], [math]\beta[/math] und [math]\gamma[/math] beim Verschieben der Eckpunkte. [br]Was kannst du zu den einzelnen Winkeln sagen? Formuliere deine Vermutung!
Es gilt: Der Punkt [i]D[/i] ist Mittelpunkt der Strecke [i]AB ( [/i]also ist [math]\left|c1\right|=\left|c2\right|[/math]) und das Dreieck [i]ABC[/i] ist gleichschenklig mit den gleich großen rot markierten Winkeln bei [i]A [/i]und [i]B [/i]und zwei gleich langen Schenkeln [i]BC [/i]und [i]AC. [/i][br][br]Die Vermutung: Der Winkel [math]\gamma[/math] wird halbiert.[br]Wir wollen zeigen, dass diese Vermutung richtig ist![br][br][br]Begründe, dass dafür genügt zu zeigen, dass die Dreiecke [i]ADC [/i]und [i]BDC [/i]kongruent sind!
Begründe mit dem Kongruenzsatz SSS, dass die Dreiecke [i]DBC [/i]und [i]DAC [/i]kongruent sind!
Begründe mit dem Kongruenzsatz SWS, dass die Dreiecke [i]DBC [/i]und [i]DAC [/i]kongruent sind!
Wir betrachten das Dreieck noch einmal, diesmal mit anderen Voraussetzungen.[br][br]Nun ist das gleichschenklige Dreieck [i]ABC[/i] gegeben und die Winkelhalbierende [i]g[/i] eingezeichnet.[br]Mit welchem Kongruenzsatz kannst du zeigen, dass der Punkt [i]D[/i] Mittelpunkt der Strecke [i]AB[/i] ist?[br]Begründe!
420836a
Beschreibe die Konstruktion![br][br]Konstruiere anschließend mit dem Werkzeug [i]Kreis um Mittelpunkt durch Punkt [/i]folgendes: [br]Einen Kreis um [i]A [/i]mit dem Radius [i]AD [/i]- nenne [i]E [/i]den Schnittpunkt des Kreises mit der Gerade [i]CD[/i].[br]Einen Kreis um [i]C[/i] mit dem Radius [i]CD [/i]- nenne [i]F [/i]den Schnittpunkt des Kreises mit der Gerade [i]AD[/i].[br]
Verbinde anschließend alle Punkte miteinander. Findest du besondere Dreiecke in der Abbildung?[br]Formuliere deine Vermutungen!
Begründe: Das Dreieck [i]ADE [/i]ist gleichschenklig.
Wie groß ist der Winkel [math]\angle EDA[/math] ?[br][br]Begründe: Das Dreieck [i]ADE [/i]ist gleichseitig.
Begründe: Das Dreieck [i]CDF [/i]ist gleichseitig.
490832a
Gegeben ist ein Parallelogramm[i] ABCD [/i]mit einem Punkt [i]E[/i] auf der Seite [i]CD [/i]sowie einige parallele Geraden.[br]Welche Geraden sind parallel zueinander?
Bewege den Punkt [i]E [/i]zwischen [i]C [/i]und [i]D [/i]und beobachte die Figur. [br]Welche geometrischen Figuren erkennst du innerhalb des Parallelogramms [i]ABCD[/i]?[br]Erläutere deine Beobachtungen!
Begründe: Die Winkel [math]\angle BAD[/math] und [math]\angle ECF[/math] sind gleich groß.
Begründe: Die Winkel [math]\angle BAD[/math] und [math]\angle PGD[/math] sind gleich groß.
Begründe: Die Winkel [math]\angle FEC[/math] , [math]\angle DGP[/math]und [math]\angle EFP[/math] sind gleich groß.
Findest du weitere gleich große Winkel in der Abbildung?[br]Fertige dazu eine Skizze im Heft an und markiere gleich große Winkel mit gleichen Farben![br]Begründe die Kennzeichnung der Winkel![br][br][br][br][br]Überprüfe anschließend deine Antworten mit der folgenden Abbildung![br][br][br][br][br]
Lösung: Stufen- und Wechselwinkel in der Figur
Gleich große Winkel bedeuten gleiche Farbe. [br][br]Welche Farben haben die Winkel [math]\angle AGH[/math]und [math]\angle GDP[/math]? Blau, gelb, grün oder rot?[br]Begründe deine Aussage!
Begründe:[br][i]GP [/i]ist genau so lang wie[i] HB.[br]DP [/i]ist genau so lang wie[i] EF.[/i]
Findest du weitere gleich lange Strecken in der Abbildung? [br]Begründe jeweils deine Antwort!
480842a
Gegeben ist ein spitzwinkliges Dreieck [i]ABC[/i] mit den Höhenfußpunkten[i] D, E[/i] und [i]F [/i]auf den Seiten [i]BC, AC [/i]bzw. [i]AB[/i]. Der Punkt [i]S [/i]sei der Schnittpunkt der Geraden [i]EF [/i]mit der Geraden [i]g[/i], die auf [i]AC [/i]senkrecht steht und durch [i]D [/i]verläuft.
Verändere das Dreieck indem du seine Eckpunkte verschiebst und beobachte die eingezeichneten Winkel [math]\angle CFS[/math]und [math]\angle CDS[/math]. Was fällt dir auf? Formuliere deine Vermutung!
Beobachte beim Verändern der Figur das Dreieck [i]EDS[/i]. Was fällt dir auf? Formuliere deine Vermutung!
Findest du rechtwinklige Dreiecke?
Warum sind diese Dreiecke rechtwinklig? Begründe!
[i]FBC [/i]und [i]EBC [/i]sind rechtwinklige Dreiecke über der Strecke [i]BC[/i].[br][br]Was passiert mit den vier Punkten, wenn ein Halbkreis über der Strecke [i]BC [/i]gezogen wird?[br]Formuliere deine Vermutung![br][br]Konstruiere diesen anschließend zur Überprüfung mit dem Werkzeug [i]Halbkreis durch 2 Punkte.[/i]
Kennst du einen Satz zu diesem Halbkreis?
Welches besondere Viereck ist das Viereck [i]EFBC[/i]?
Was gilt in einem solchen Viereck?[br][br][br][br][br][br][br]Hinweis: Trage die Winkel in dem Viereck [i]EFBC [/i]ein und beobachte, wie sie sich verändern, wenn du die Figur veränderst!
Nutze diese Tatsache, um im Folgenden zu begründen, dass die Winkel [math]\angle CDS[/math] und [math]\angle CFS[/math] gleich groß sind!
Wie groß ist [math]\angle CFS[/math]?[br]Stelle einen Term für die Winkelgröße auf!
Wie groß ist [math]\angle CDS[/math]? Stelle einen Term für die Winkelgröße auf und zeige, dass [math]\angle CDS[/math] und [math]\angle CFS[/math] gleich groß sind!
530832a
Die Abbildung zeigt ein konvexes Viereck [i]ABCD[/i] und einen Punkt [i]E[/i] mit folgenden Eigenschaften:[br]1) Der Winkel [math]\angle ACB[/math] ist ein rechter Winkel.[br]2) Die Größe des Winkels [math]\angle BAC[/math] beträgt 20°.[br]3) Der Punkt [i]D[/i] liegt auf derselben Seite der Geraden [i]AB[/i] wie der Punkt [i]C[/i] und der Winkel [math]\angle ADC[/math] ist ein rechter Winkel.[br]4) Die Größe des Winkels [math]\angle CAD[/math] beträgt 40°.[br]5) Der Kreis mit dem Durchmesser [i]AB[/i] schneidet die Strecke [i]CD[/i] in einem von [i]C[/i] verschiedenen Punkt [i]E[/i].[br]
Betrachte die Abbildung genau.[br]Findest du spezielle Drei- oder Vierecke? Formuliere, was dir zu der Figur einfällt.[br][br][br]In dieser Aufgabe soll das Verhältnis der Längen der Strecken [i]BC[/i] und [i]CE[/i] bestimmt werden. [br]Betrachte die beiden Strecken und formuliere deine Vermutung über das Verhältnis ihrer Längen!
Welche rechtwinkligen Dreiecke findest du in der Abbildung?
Gibt es rechtwinklige Dreiecke, die den Punkt [i]E[/i] beinhalten? Begründe![br][br]Hinweis: Konstruiere Strecken, die den Punkt [i]E[/i] mit weiteren Punkten aus der Abbildung verbinden!
500836a
Konstruiere ein konvexes Viereck [i]ABCD [/i]sowie die vier Seitenmittelpunkte [i]K,L,M[/i] und [i]N.[br][/i]Verbinde die Seitenmittelpunkte miteinander zum Viereck [i]KLMN [/i]und beobachte es beim Verändern des Vierecks [i]ABCD . [br][/i]Formuliere deine Beobachtungen!
Warum ist [i]KLMN [/i]ein Parallelogramm? [br]Wir versuchen, dies im Laufe dieser Aufgabe zu zeigen.[br][br]Verbinde weitere Punkte aus den Vierecken miteinander. Findest du noch mehr Strecken, die parallel zu den Seiten des Parallelogramms sind?[br]Formuliere deine Beobachtungen!
400842
Beschreibe mit geometrischen Begriffen die abgebildete Figur![br]Verwende unter anderem die Begriffe [i]Lotfußpunkt, Inkreis [/i]und [i]Radius.[/i]
Der Winkel [math]\alpha[/math] des Dreiecks [i]ABC[/i] sowie der Radius [i]r[/i] des Inkreises sind unveränderlich.[br]Verändere das Dreieck, indem du den Punkt [i]B [/i]bewegst. Welche Teilstrecken sind bzw. bleiben gleich lang?[br]Formuliere deine Vermutung!
Eingetragen ist nun der Mittelpunkt M des Inkreises sowie die Strecke [i]AM[/i]. [br][br]Begründe: [i]AM [/i]halbiert den Winkel [math]\alpha[/math] .
Betrachte die beiden Dreiecke [i]AFM[/i] und [i]AME. [/i]Begründe mit Hilfe eines Kongruenzsatzes, dass |[i]AF|=|AE|[/i] gilt.[br]
Begründe analog, dass auch |[i]BD|=|BF|[/i] und |[i]CD|=|CE| [/i]gilt!
Erläutere die Veränderungen in der folgenden Abbildung!
Stelle zwei Terme für die Berechnung des Umfangs von [i]ABC [/i]auf. Einen unter Benutzung der Seitenlängen [i]a[/i], [i]b[/i] und [i]c[/i] sowie einen mit den angegebenen Teilstrecken[i] p, s[/i] und [i]t[/i]!
Begründe: [i] a = t + p [/i]
Was gilt zudem für [i]b [/i]und [i]c[/i]? Stelle die Seiten mit den Namen der Teilstrecken[i] p, s[/i] und [i]t[/i] dar.
[br]Stelle die Summe [i]b + c - a[/i] mit den Buchstaben [i]p, s[/i] und [i]t [/i]dar und vereinfache den Term.
Interpretiere das Herausgefundene.[br][br]Welche der Aussagen sind wahr?
Begründe, dass [math]\frac{\left(b+c-a\right)}{2}[/math] die Länge der Strecke [i]AF[/i] ist.
Rückblick
Rückblick: Wir haben gezeigt dass die Summe b+c-a konstant ist und [math]\frac{b+c-a}{2}[/math] die Länge der Strecke [i]AF [/i]ist.[br]Mache dir klar, welche Schritte dabei für dich wichtig waren und was du beim Bearbeiten dieser Aufgabe mitgenommen hast