Sjå for deg grafen til funksjonen [math]f\left(x\right)=\frac{x^3-1}{x-1}[/math]. Denne er ikkje definert når x=1. Så korleis ser grafen ut omtrent der? Teikn grafen i vindauget under og sjekk sjøl! Du kan til dømes sete på eit punkt på grafen for å sjå verdiene (x,f(x)) etter kvart som x nærmar seg 1.

Som du sikkert la merke til blir punktet spesifisert som [i]undefined[/i] om du setter det der x=1. Det er jo fordi ein ikkje kan dele på 0. Vi ser og at vi kan få (x,y) så nær vi vil (1, 3), berre vi zoomar inn nok. Vi ser altså at f(x) nærmar seg 3 og dermed kan vi skrive at [math]\lim_{x\to1}f\left(x\right)=\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}=3[/math]. Vi kan altså ha det slik at grenseverdien eksisterer sjølv om funksjonen ikkje er definert for x=1. Vi tenker oss at x-verdien nærmar seg 1 og kan bli så nær vi berre vil, uten å faktisk bli 1. Eit av måla for dette arbeidsarket er at ein ikkje lenger skal tenkje at [math]\lim_{x\longrightarrow1}\left(x^2+1\right)=2[/math] fordi ein set inn x=1 i uttrykket, sjølv om det ofte er akkurat det ein gjer!

Ein måte å "omgå" problemet med at det er noko muffens i nemnaren er å omforme uttrykket ved faktorisering. Vi ser på dømet [math]f\left(x\right)=\frac{x^2-3x-10}{x+2}[/math], definert for alle reelle tall unnteke -2. Korleis kan vi finne grensa for f(x) når x går mot -2 , og det utan å teikne grafen?[br]Ved å bruke det vi kan om andregradsfunksjoner kan vi faktorisere tellaren. Vi faktoriserer og får[br][math]f\left(x\right)=\frac{x^2-3x-10}{x+2}=\frac{\left(x+2\right)\left(x-5\right)}{x+2}=x-5[/math]. Viss vi no let x vere så nær -2 som vi berre vil, så vil funksjonsverdien bli meir og meir lik -2-5=-7. Teikn grafen i vindauget ovanfor og sjekk at det stemmer!

Om brøkfunksjonen er slik at den ikkje kan faktoriserast har vi andre måter å gjere det på. Eit døme på dette er [math]f\left(x\right)=\frac{3x-2}{x+4}[/math] . Her kan vi korkje forkorte eller faktorisere noko. Kva kan grensa vere om vi let x gå mot -4?[br]Teiknar du grafen til funksjonen i GeoGebra-vindauget over, vil du sjå at når x nærmar seg -4 frå venstre så vil uttrykket gå fortare og fortare mot [math]-\infty[/math], medan x-verdiar som nærmar seg -4 frå høgre vil gi at funksjonsverdien veks raskare og raskere mot +[math]\infty[/math]. Dette vil seie at det ikkje eksisterer nokon grenseverdi. Grenseverdien er heller ikkje [math]\infty[/math], for vi har forskjellig forteikn når vi går mot -4 frå høgre og venstre.

Grenseverdiar har ein ganske så presis matematisk definisjon som diverre kan vere vanskelig å bli fortruleg med. Men her er den:[br][br][color=#1e84cc][size=100][size=150]Funksjonen f(x) har talet L som grenseverdi når x nærmar seg c dersom det til kvart tall [math]\epsilon>0[/math] fins eit tal [math]\delta>0[/math] slik at [math]\left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon[/math] når [math]0<\left|x-c\right|<\delta[/math].[/size][/size][/color][br][br]Vi kan altså tenkje oss at det er gjeve ein bitteliten [math]\epsilon[/math], det vil i praksis seie at vi ønsker grensa L maksimalt ein avstand [math]\epsilon[/math] unna f(x). Da må ein kunne parere med ein [math]\delta[/math] slik at x blir så nær c at dette blir oppfylt.

Vi har sett på høve der grensa eksisterer eller ikkje eksisterer når vi let x nærma seg ein bestemt verdi. No skal vi sjå kva som kan skje om vi let x gå mot [math]\infty[/math] eller [math]-\infty[/math].[br]Eit typisk døme er 1/x. Viss [math]\left|x\right|\rightarrow\infty[/math] Så vil funksjonsverdien bli meir og meir lik 0. Men det er skilnad på om vi let x gå mot uendeleg og samstundes er positiv eller negativ![br]Vi skriv difor [math]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0[/math] og [math]\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x}=0[/math], men i det første høve er brøken alltid positiv og i det andre høve er brøken alltid negativ.

Vi skal sjå på denne funksjonen [math]f\left(x\right)=\frac{3x+1}{5-x}[/math]. Her kan ingenting faktoriserast så kva skjer om vi let x gå mot uendelig her? Vi får kanskje ei føling med at 3x-leddet vil vere viktigare enn -x-leddet? Vi kan uansett prøve å omforme problemet ved å lage det ein kan kalle "småbrøkar" i teller og nemnar. Det vil seie at vi delar på den høgaste potensen av x. Da får vi[br][math]f\left(x\right)=\frac{3x+1}{5-x}=\frac{\frac{3x}{x}+\frac{1}{x}}{\frac{5}{x}-\frac{x}{x}}[/math]. Her ser vi at det blir enklare å sjå kva som skjer om vi tek grensa når x går mot 5. Dei to småbrøkane vil gå mot null og da er det som står igjen lett: [math]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3x+1}{5-x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3+\frac{1}{x}}{\frac{5}{x}-1}=\frac{3}{-1}=-3[/math]. Teikn grafen igjen så det blir lettare å sjå at dette gir meining. [br]