[u][i]Fazit[/i][/u]: [b]Spiegelungen[/b] sind im Geradenraum involutorische [i]hermitesche[/i] Abildungen. Zu einer Spiegelung [math] \mathbf{K}[/math] gehört jeweils eine Zerlegung [math]\large\mathcal{ G}= \large\mathcal{ K}\oplus_{\mathbb{R}} i\cdot\large\mathcal{ K} [/math], für die [math]\mathbf K|_{\mathcal{ K}}=\mathbf{id}\mbox{  und }\mathbf K|_{i\cdot\mathcal{ K}}=\mathbf{-id}[/math] ist. [br][math]\mathcal{ K}[/math] besteht aus den Geraden einer Ebene, auf welcher [math] \bullet[/math] nicht ausgeartet ist, [math]i\cdot\mathcal{ K}[/math] enthält die Geraden durch den Pol der Ebene. [br]Schneidet die Ebene die Möbiusquadrik, so liegt eine [i]hyperbolische[/i] Kreisspiegelung, andernfalls liegt eine [i]elliptische[/i] Spiegelung vor.

[size=85]Zu den Geraden einer Ebene, welche die Möbiusquadrik in einem Kreis schneidet (hyperbolisch), bzw. welche ganz außerhalb verläuft (elliptisch), gehört im Geradenraum [/size] [math]\large\mathcal{ G} [/math] [size=85]ein 3-dimensionaler reeller Unterraum[/size] [math]\large\mathcal{ K} [/math][size=85]. Die durch den Pol der Ebene gehenden Geraden liegen in dem "polaren" Unterraum[/size] [math]i\cdot\large\mathcal{ K} [/math][size=85], zusammen ergeben diese beiden Unterräume [br]eine reelle Zerlegung [/size][math]\large\mathcal{ G}= \large\mathcal{ K}\oplus_{\mathbb{R}} i\cdot\large\mathcal{ K} [/math] . [br][size=85]Die reell-lineare involutorische Abbildung[/size] [math]\mathbf K\,: \mathcal{ G}\longrightarrow\mathcal{ G}\mbox{ mit }\mathbf K|_{\mathcal{ K}}=\mathbf{id}\mbox{ und }\mathbf K|_{i\cdot\mathcal{ K}}=\mathbf{-id}[/math] [size=85]beschreibt im Geradenraum eine [i]Kreisspiegelung[/i]. Diese Kreisspiegelungen sind unser erstes Beispiel für [i][b]hermitesche Abbildungen[/b][/i] im Geradenraum [/size][math]\large\mathcal{ G} [/math][size=85]: [br]es gelten die Regeln[/size][br][list][*][math]\mathbf{K}\, w\cdot\mathbf\vec{g}=\overline{w}\cdot\mathbf\vec{g}\mbox{ für alle }w\in\mathbb{C}\mbox{ und alle } \mathbf\vec{g}\in\mathcal{ G}[/math][br][/*][br][*][math]\mathbf{K}\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf\vec{g}_2=\overline{\mathbf\vec{g}_1\bullet\mathbf{K}\mathbf\vec{g}_2}\mbox{ für alle }\mathbf\vec{g}_1,\,\mathbf\vec{g}_2\in \large\mathcal{ G}[/math][br][/*][/list][size=85]Kreisspiegelungen sind zusätzlich involutorisch: [/size][math]\mathbf{K}^2=\mathbf{id}[/math].[br][br][size=85]Dem obigen Applet liegt ein [i]euklidisches Koordinatensystem[/i] zugrunde: die [i][b]hyperbolische Ebene[/b][/i] [math]\mathbf{E_x}[/math] wird aufgespannt von [math]\mathbf\vec{g}_0 = \left[\mathbf\vec{p}_0,\mathbf\vec{p}_\infty\right],\; \mathbf\vec{g}_1 = \left[\mathbf\vec{p}(-1),\mathbf\vec{p}(+1)\right]\mbox{ und i\cdot\mathbf{\vec{g}_i}= \left[\mathbf\vec{p}(-i),\mathbf\vec{p}(+i)\right][/math]. [math]i\cdot\mathbf{\vec{g}_i}[/math] ist die Ferngerade der angezeigten Ebene, der Pol von [math]\mathbf{E_x}[/math] ist der Fernpunkt auf der y-Achse. Die Geraden durch diesen Pol sind die Parallelen zur y-Achse. Sie schneiden die Möbiusquadrik in den Punkten [math]\mathbf\vec{p}(z)\mbox{ und } \mathbf\vec{p}(\overline{z})[/math]. [br]Stereographische Projektion liefert zu [math]z[/math] den Spiegelpunkt [math]\overline{z}[/math]: Spiegelung an der x-Achse.[br]Die [i][b]elliptische Ebene[/b][/i] ist die Polarebene des Kugelmittelpunkts, also die Fernebene. Die Geraden durch den Kugelmittelpunkt schneiden die Möbiusquadrik jeweils im [i]Antipodenpaar[/i] [math]\mathbf\vec{p}(z)\mbox{ und } \mathbf\vec{p}(-\frac{1}{{\overline{z}})[/math]. [br]Stereographische Projektion ergibt die [i]elliptische Spiegelung[/i] [math]z\mapsto-\frac{1}{\overline{z}}[/math], die sich aus den Spiegelungen an der x-Achse, der y-Achse und am Einheitskreis zusammensetzt. [br][/size][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]