Un punto [b][color=#ff0000]D[/color][/b] se dice que es el conjugado armónico del punto [b][color=#ff0000]C[/color][/b] respecto de los puntos [b][color=#0000ff]A[/color][/b] y [b][color=#0000ff]B[/color][/b], todos colineales, si su razón doble [b]s[/b] es igual a [b]-1[/b]: [br][br][b]s = RD(A, B, C, D) = (BD/BC)/(AD/AC) = -1[/b][br][br]Se trata de una involución: [b][color=#ff0000]C[/color][/b] es a su vez el conjugado armónico de [color=#ff0000]D[/color] respecto de [color=#0000ff]A[/color] y [color=#0000ff][b]B[/b][/color], y estos últimos son conjugados ármonicos respecto a [b][color=#ff0000]C[/color][/b] y [b][color=#ff0000]D[/color][/b]. Se dice que[b] ([color=#0000ff]A[/color], [color=#0000ff]B[/color], [color=#ff0000]C[/color], [color=#ff0000]D[/color])[/b] Constituyen una cuaterna armónica de puntos.[br][br]Los dos pares de puntos [b][color=#0000ff](A, B)[/color][/b] y [b][color=#ff0000](C, D)[/color][/b] se pueden conmutar internamente y entre si, pero no de otra forma. Por ejemplo, [b]([color=#0000ff]A[/color], [color=#ff0000]C[/color], [color=#0000ff]B[/color], [color=#ff0000]D[/color])[/b] no es una cuaterna armónica si lo es [b]([color=#0000ff]A[/color], [color=#0000ff]B[/color], [color=#ff0000]C[/color], [color=#ff0000]D[/color])[/b].[br][br]Considerando la recta proyectiva [b]r[/b], incluyendo su punto del infinito, los puntos [b][color=#0000ff]A[/color][/b] y [b][color=#0000ff]B[/color][/b] separan a los puntos [b][color=#ff0000]C[/color][/b] y [b][color=#ff0000]D[/color][/b] si y solo si [b]s < 0[/b], de manera que las circunferencias de diámetros [b][color=#0000ff]AB[/color][/b] y [b][color=#ff0000]CD[/color][/b] son secantes. Si es [b]s = -1[/b], los separan armónicamente y las circunferencias son ortogonales.

Los puntos [b][color=#0000ff]A[/color][/b], [b][color=#0000ff]B[/color][/b], [b][color=#ff0000]C[/color][/b], [b][color=#ff00ff]P[/color][/b], [b][color=#ff00ff]Q[/color][/b] y [b][color=#38761D]X[/color][/b], la visibilidad de algunos depende de las casillas activadas, pueden desplazarse libremente en las rectas que los contienen, salvo el punto [b][color=#ff00ff]P[/color][/b] que puede ocupar cualquier posición fuera de la recta [b]r[/b].[br][br]Con la [color=#ff00ff]primera casilla[/color] activada, mover el deslizador paso a paso para ver la construcción del punto [b][color=#ff0000]D[/color][/b].[br][br]Esta construcción se basa en que en un cuadrilatero completo, los vertices ([b][color=#0000ff]A[/color][/b] y [b][color=#0000ff]B[/color][/b]) corrspondientes a una diagonal ([b]r[/b]), separan armónicamente a los puntos ([b][color=#ff0000]C[/color][/b] y [color=#ff0000][b][color=#ff0000]D[/color][/b][/color]) de intersección de dicha diagonal con las otras dos ([b][color=#ff00ff]RP[/color][/b] y [b][color=#ff00ff]QS[/color][/b]). [br][br]La posición del punto [b][color=#ff0000]D[/color][/b] no depende de la elección de [b][color=#ff00ff]P[/color][/b] y [b][color=#ff00ff]Q[/color][/b], pues queda totalmente determinado por [b][color=#0000ff]A[/color][/b], [b][color=#0000ff]B[/color][/b] y [b][color=#ff0000]C[/color][/b].[br][br]¿Si [b][color=#ff0000]C[/color][/b] es el punto medio de [b][color=#0000ff]A[/color][/b] y [b][color=#0000ff]B[/color][/b], que posición ocupa el punto [b][color=#ff0000]D[/color][/b]?[br][br]Marcando la [color=#38761D]tercera casilla[/color] se visualiza la cuadrícula y es sencillo situar [b][color=#ff0000]C[/color][/b] exactamente en el punto medio de [b][color=#0000ff]A[/color][/b] y [b][color=#0000ff]B[/color][/b].[br][br]¿Que valores recorre la razón doble de la cuaterna ([b][color=#0000ff]A[/color][/b], [b][color=#0000ff]B[/color][/b], [b][color=#ff0000]C[/color][/b], X) cuando [b][color=#38761D]X[/color][/b] varía en los intervalos, incluyendo semirectas, determinados por [b][color=#0000ff]A[/color][/b], [b][color=#0000ff]B[/color][/b], [b][color=#ff0000]C[/color][/b] y [b][color=#ff0000]D[/color][/b]?[br][br]Con la tercera casilla activada, puede animarse el movimiento del punto [b][color=#38761D]X[/color][/b], o moverlo manualmente.[br][br]No es conveniente, ni necesario, tener marcadas las tres casillas simultáneamente.