Die Hesse-Matrix ist gegeben durch [math] Hess \, f(x,y) = \left( \begin{array}{} \frac{∂^2f}{∂x^2} & \frac{∂^2f}{∂y \, ∂x} \\ \frac{∂^2f}{∂x \, ∂y} & \frac{∂^2f}{∂y^2} \\ \end{array} \right) [/math][br][br][b]Satz[br][/b]Für die zweimal stetig differenzierbare Funktion [math]f:D\left(\subseteq\mathbf{R^2}\right)\rightarrow\mathbf{R}[/math] mit grad f(x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]) = 0 und die symmetrische Matrix [math] Hess = \left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \\ \end{array} \right) [/math] gilt: [br]i) det Hess > 0 ∧ a[sub]1,1[/sub] > 0 ⇒ Hess ist positiv definit, d. h. f besitzt in (x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]) ein lokales Minimum. [br]ii) det Hess > 0 ∧ a[sub]1,1[/sub] < 0 ⇒ Hess ist negativ definit, d. h. f besitzt in (x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]) ein lokales Maximum.[br]iii) det Hess < 0 ⇒ Hess ist indefinit, d. h. f besitzt in (x[sub]0[/sub],y[sub]0[/sub]) einen Sattelpunkt.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verschiebe den [color=#0000ff][b]Punkt P[/b][/color] und versuche, Maxima, Minima und Sattelpunkte zu finden.[br]Untersuche weitere Funktionen wie[br]f(x,y) = x*y , f(x,y) = 0.5(x³ + x² - x) - 0.5y² , f(x,y) = sin(x)*sin(y) etc.[br][br]Hinweis: [br]Bei Bedarf kannst du die Einstellungen für das Gitternetz der xy-Ebene auf Abstand π oder π /2 ändern.[br][br]Zusatzfrage: [br]Wieso kann mit diesem Satz kein Sattelpunkt für die Funktion f mit f(x,y) = x³ gefunden werden?