[b]Esercizio 1[/b] Disegna un esagono regolare, ABCDEF, inscritto in una circonferenza. Conduci ogni apotema e prolungalo fino a incontrare la circonferenza nei punti A',B',C', D',E',F'. Dimostra che:[br]a) l'esagono A'B'C'D'E'F' è congruente all'esagono ABCDEF[br]b) congiungendo i vertici dei due esagoni si ottengono AA', BB', CC', … lati di un dodecagono regolare.[br][br][br][b]Ipotesi[/b][br]ABCDEF è un esagono regolare;[br]OA', OB', OC', OD', OE', OF' raggi ottenuti prolungando gli apotemi[br][br][b]Tesi[/b][br]1. A'B'C'D'E'F'[math]\cong[/math]ABCDEF[br]2. AA'BB'CC'DD'EE'FF' poligono regolare[br][br]
[list=1][*]Costruiamo con Geogebra l'esagono regolare [icon]/images/ggb/toolbar/mode_regularpolygon.png[/icon] e individuiamo il centro O (ad esempio tracciando AD e BE) [icon]/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon][icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersect.png[/icon] e la circonferenza che lo circoscrive.[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon][br][/*][*]Congiungiamo O con i vertici dell'esagono. Otteniamo 6 triangoli __________ congruenti di vertice O. Quindi ogni angolo di vertice O è _______ di angolo giro.[/*][*]Tracciamo ora gli apotemi: [i]poiché gli apotemi sono i raggi della circonferenza inscritta, [/i]gli apotemi sono segmenti tracciati da O perpendicolari ai lati [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonal.png[/icon][/*][*]Per rendere il disegno più facilmente leggibile tracciamo l'apotema da O rispetto al lato AB e al lato BC e chiamiamo A' e B' il punto di incontro con la circonferenza.[br][/*][/list]
Per rendere il disegno più facilmente leggibile tracciamo l'apotema da O rispetto al lato AB e al lato BC e chiamiamo A' e B' il punto di incontro con la circonferenza.[br][b][i]Osserviamo:[br][/i][/b]1) l'apotema divide l'angolo di vertice O in due parti congruenti.[br]2) i triangoli OAB e OA'B' sono congruenti.[br]Risultano congruenti AB e A'B'.[br][br]Possiamo ora tracciare gli altri apotemi ed osservare che poiché ABCDEF è regolare,[br]allora anche A'B'C'D'E'F' sarà regolare.[br][left][i]CVD tesi 1[br][br][/i]Per dimostrare la tesi 2:[br][br]Congiungiamo O con i vertici del dodecagono.[br]L'angolo giro di vertice O risulta suddiviso in dodici angoli al centro congruenti, quindi anche la circonferenza è suddivisa in dodici archi congruenti, pertanto il dodecagono è regolare.[/left]