Gränsvärden kan man säga handlar om att man man tänker sig vad som händer om ett värde förändrar sig. Som nämndes tidigare används grekiskans limes, förkortat lim, för gränsvärden.[br]Säg att vi har:[br][math]\begin{matrix}lim\\x\rightarrow4\end{matrix}x-4[/math][br]Om vi då tänker oss att x är ett värde som från ett mycket litet tal närmar sig 4, då kommer det i princip stå 4-4 och då blir detta gränsvärde 0.[br]Man kan även tänka sig att x är ett mycket stort tal som närmar sig 4, men här blir det ingen skillnad. Men det kan bli.[br]Om vi tar snarlika:[br][math]\begin{matrix}lim\\x\rightarrow5\end{matrix}x-4[/math][br]Då set vi att det kommer kunna stå 5-4 som då ger att gränsvärdet är 1.

Det svåra blir när man tittar på gränsvärden som är oändliga. Betecknas med lemniskata (oändlighetstecknet) ∞. Eller om man får divisioner med 0.[br]Säg att vi har gränsvärdet:[br][math]\begin{matrix}lim\\x\rightarrow\infty\end{matrix}\frac{x+4}{x^2}[/math][br]Då skulle man kunna se det som att det står [math]\frac{\infty+4}{\infty^2}[/math] men det betyder inget det är som att det står [math]\frac{\infty}{\infty}[/math] eftersom oändligt är oändligt och inte ett specifikt tal. Man skulle kunna leka med tanken att gränsvärdet då blir 1.[br]Men här får man fundera och dela upp i två delar. Man tittar på täljaren för sig och nämnaren för sig. Säg att vi sätter in 1, vi får [math]\frac{5}{1}[/math]. Vi sätter in 2 och ser vad som händer, vi får [math]\frac{6}{4}[/math]. Nämnaren har växt snabbare. Vi sätter in ett större tal 10, vi får [math]\frac{14}{100}[/math]. Nu är nämnaren mycket större än täljaren. Om vi tänker oss att vi sätter in större och större tal kommer nämnaren att bli extremt mycket större än täljaren. Det skulle i princip vara som att man har [math]\frac{1}{999999999999999999999999}[/math] (satte bara in siffror...) och om man har en väldigt stor nämnare blir ju kvoten mindre och mindre, den närmar sig 0. Om vårt x-värde närmar sig oändligheten kommer kvoten att närma sig 0. Då kommer gränsvärdet att vara 0.[br][math]\begin{matrix}lim\\x\rightarrow\infty\end{matrix}\frac{x+4}{x^2}=0[/math]

Säg nu att vi har:[br][math]\begin{matrix}lim\\x\rightarrow0\end{matrix}\frac{x^2+1}{x}[/math][br]Då ser vi direkt att om x är 0 får vi [math]\frac{1}{0}[/math] vilket inte går att räkna.[br]Men vad händer om vi närmar oss 0?[br]Om vi först kommer från ett mycket litet tal och närmar oss 0 från vänster. Vad kommer då hända?[br]Säg att vi har -10, då får vi [math]\frac{101}{-10}=-10,1[/math]. Vi närmar oss och väljer -2 och få får [math]\frac{5}{-2}=-2,5[/math]. Vi närmar oss och väljer -1 och då får [math]\frac{2}{-1}=-2[/math]. Det ser ut som att vi får negativa tal som blir mindre och mindre. Men eftersom vi senare får decimaltal blir saker annorlunda. Vi sätter in -0,1 och får [math]\frac{1,01}{-0,1}=-10,1[/math]. Samma som när vi satte in -10! Vi sätter in ett ännu mindre tal som -0,001 och vi får [math]\frac{\text{1,000001}}{-0,001}-\text{1000,001}[/math]. Ju närmare 0 talet är och negativt desto mindre verkar det bli. Om vi närmar oss 0 från vänster blir gränsvärdet då -∞.[br]Om vi sen kommer från ett mycket stort tal och närmar oss 0 från höger. Då kommer samma sak hända, fast positiva tal. Gränsvärdet när vi närmar oss 0 från höger blir då ∞.[br]Dessa två svar kan vi skriva då som:[br] [math]\begin{matrix}lim\\x\rightarrow0^-\end{matrix}\frac{x^2+1}{x}=-\infty[/math] och [math]\begin{matrix}lim\\x\rightarrow0^+\end{matrix}\frac{x^2+1}{x}=\infty[/math].[br]Man kan alltså ha olika gränsvärden på samma tal.[br]Om vi tittar på exemplet ovan med appletten så blir det i bägge fall [math]\begin{matrix}lim\\x\rightarrow0\end{matrix}\frac{x+4}{x^2}=\infty[/math].[br]Se i appletten nedan för det som vi nyss behandlat