Dargestellt ist der Graph der Funktion [math]f(x)=x^2+0.5[/math], der darauf liegende Punkt [math]P_0[/math] sowie die Tangente der Funktion im Punkt [math]P_0[/math]. Zoomt man am Punkt [math]P_0(0.5/0.625)[/math] hinein, so scheint der Graph der Funktion bei genügend starker Vergrößerung linear zu verlaufen. Verlängert man den betrachteten linearen Ausschnitt, erhält man die Tangente im Punkt [math]P_0[/math].
[b]Aufgabe 1:[/b] Begründe, warum du die Steigung der Tangente nicht unmittelbar berechnen kannst. [b]Aufgabe 2:[/b] Lass dir die rechts- und linksseitige Sekante durch den Punkt [math]P_0[/math] und einen weiteren Punkt [math]P_1[/math] bzw. [math]P_2[/math] des Graphen anzeigen. Der Abstand von [math]P_0[/math] zu [math]P_1[/math] bzw. [math]P_2[/math] in x-Richtung kann mit Hilfe des Schiebereglers h verändert werden. Variiere die Intervallgröße mithilfe des Schiebereglers und notiere deine Beobachtungen. [b]Aufgabe 3:[/b] Lass dir zusätzlich die Steigungsdreiecke und Steigungszahl der rechts- und linksseitigen Sekante und der Tangente anzeigen. Ziehe erneut am Schieberegler h. Welchen Zusammenhang gibt es zwischen Sekantensteigung und Tangentensteigung? Erläutere diese dargestellte Idee zur Berechnung der Tangentensteigung. Tipp: Gehe schrittweise vor und betrachte zunächst nur die Steigungswerte, bevor du dir die Steigungsdreiecke ebenfalls anzeigen lässt. [b]Aufgabe 4:[/b] Stelle die Formel zur Berechnung der rechts- bzw. linksseitigen Sekantensteigungen auf. Tipp: Überlege dir, welche Objekte dabei hilfreich sind und blende die nicht benötigten wieder aus. Überprüfen deine Ergebnisse mit dem Kontrollkästchen. [b]Aufgabe 5:[/b] Formuliere die Formel zur Berechnung der Tangentensteigung. Verwende dazu dein erworbenes Wissen aus Aufgabe 3 und 4.