Bombolles amb Geogebra en 2D i 3D
Taller sobre MAtemàtiques aMb BOmbolles celebrat el 15 d'abril de 2023 al CESIRE Més informació del MAMBO: http://mambo.feemcat.org [b]Bernat Ancochea, Enric Castellà i Xavier Espàrrech[/b]
Table of Contents
- Bombolles amb 3 punts plans
- Càlcul del punt de Fermat de 3 punts
- Recorregut mínim entre 3 punts
- Punt de Fermat sobre una imatge
- El recorregut és mínim del triangle?
- Un angle més gran de 120º
- Construcció i demostració: Punt de Fermat dins un triangle.
- Simulació amb Punts Aleratoris Punt Fermat
- Bombolles amb 4 punts plans
- Recorregut mínim entre 4 punts
- Càlcul del punt de Fermat de 4 punts
- Punt de Fermat sobre una imatge
- El recorregut és mínim del quadrilàter?
- Construcció i demostració: Punts de Fermat dins un quadriàter.
- Bombolles amb 5 o 6 punts plans
- I si són 5 punts? I 6?
- Pentagon dins del Sabó
- Bombolles en un Tetraedre
- Mínima superfície de bombolla en un tetraedre
- Punt de Fermat en un Tetraedre regular?
- Superfície capaç
- Eina per a la superfície capaç
- Punt de Fermat al tetraedre regular
- Punt de Fermat en un tetraedre genèric
- Tetraedre amb punts de Fermat aproximats
- Buscant el punt de Fermat (I)
- Buscant el punt de Fermat (II)
- Punt de Fermat per mètode iteratiu
- Bombolla dins del tetraedre
- Bombolles en un Cub
- Bombolla cúbica (I)
- Resolució analítica
- Bombolla cúbica (II)
- Bombolla cúbica (III)
- Pressió entre bombolles
- PrincipiDemoRelacioRadis
- Xerrada sobre Bombolles
- Xerrada 1/9/2023 per FotoGeoGebra d'Argentina
- Xerrada ABEAM i UAB (4/11/23 i 21/11/23)
Càlcul del punt de Fermat de 3 punts
Primer mètode pel càlcul del Punt de Fermat de 3 punts
Obrirem el [b]GeoGebra i hi posarem 3 punts[/b]. Després podrem moure'ls mantenint tota la construcció que anem fent. Aquesta és la idea de la Geometria Dinàmica, fem construccions i després movem els punts observant què és el que es manté i el què no.[br]Construïm el triangle que uneix els 3 punts amb l'[b]eina Polígon[/b] [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon], anomenarem els 3 vèrtexs com A, B i C.[br]Ara construirem [b]un triangle equilàter [/b]associat a un dels costats del nostre triangle. Per exemple el costat format pels punts A i B. Haurem d'anar en compte perquè segons com escollim els punts, ens orientarà el triangle equilàter cap a una banda o cap a una altra, a nosaltres ens interessa que construeixi el triangle equilàter d'un costat de manera que quedi cap a fora del triangle. Per evitar això, només heu de canviar l'ordre en que cliqueu els punts quan utilitzeu l'eina.[br]Si cliqueu a l'eina Polígon, se us desplega un menú amb quatre eines, cliqueu a l'[b]eina Polígon regular[/b] [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_regularpolygon.png[/icon]cliqueu sobre dos vèrtexs del costat del triangle que heu escollit i després us preguntarà de quants costats voleu que sigui el vostre polígon regular, haureu de dir 3 per construir el triangle equilàter. [br][br]Depenent de la traça que tinguin el vostre alumnat i de l'estona que vulgueu dedicar a l'activitat, podeu demanar a l'alumnat que construeixin el triangle equilàter. S'ha de trobar la circumferència que té centre A i passa per B i la que té centre B i passa per A, ho podeu fer amb l'[b]eina de Circumferència [/b][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_sphere2.png[/icon]. D'aquesta manera trobareu el tercer vèrtex del triangle equilàter, de fet, se'n troben dos i cal escollir el que interessa. També podeu preguntar al grup classe com ho farien, i deixar una estona perquè ho provin.[br][br]Un cop tenim aquest tercer punt, li direm T, llavors, entre els punts A, B i T tindrem el triangle equilàter. Ara ens cal calcular la[b] circumferència que conté aquests 3 punts[/b]. Ho podem fer amb l'eina [b]Circumferència que passa per tres punts[/b] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon]directament, o els hi podem fer construir en més detall. Només ens cal calcular la mediatriu entre dues parelles de punts, per exemple, A i B, i A i T, i trobar la intersecció entre aquestes dues mediatrius. Això ens donarà el centre de la circumferència que passa pels 3 punts A, B i T.[br][br]Ara cal construir el segment que uneix el vèrtex T amb l'extrem oposat del triangle original, és a dir, amb el punt C. La [b]intersecció entre aquest segment i la circumferència[/b] que conté els punts A, B i T és justament el punt de Fermat que estem buscant.
Segon mètode pel càlcul del Punt de Fermat de 3 punts
Obrirem el [b]GeoGebra i hi posarem 3 punts[/b]. Després podrem moure'ls mantenint tota la construcció que anem fent. Aquesta és la idea de la Geometria Dinàmica, fem construccions i després movem els punts observant què és el que es manté i el què no.[br]Construïm el triangle que uneix els 3 punts amb l'[b]eina Polígon[/b] [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_polygon.png[/icon][br]Ara construirem [b]3 triangles equilàters [/b]associats a cada un dels costats del nostre triangle. Haurem d'anar en compte perquè segons com escollim els punts, ens orientarà el triangle equilàter cap a una banda o cap a una altra, a nosaltres ens interessa que construeixi el triangle equilàter d'un costat de manera que quedi cap a fora del triangle. Per evitar això, només heu de canviar l'ordre en que cliqueu els punts quan utilitzeu l'eina.[br]Si cliqueu a l'eina Polígon, se us desplega un menú amb quatre eines, cliqueu a l'[b]eina Polígon regular[/b] [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_regularpolygon.png[/icon]cliqueu sobre dos dels punts del vostre triangle i després us preguntarà de quants costats voleu que sigui el vostre polígon regular, haureu de dir 3 per construir el triangle equilàter. [br][br]Depenent de la traça que tinguin el vostre alumnat i de l'estona que vulgueu dedicar a l'activitat, per trobar el triangle equilàter aquí podeu trobar la mediatriu utilitzant alguna[b] eina de Circumferència [/b][icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_sphere2.png[/icon]o directament calculant la mediatriu entre dos punts [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_linebisector.png[/icon]amb l'[b]eina Mediatriu[/b] que teniu el menú desplegable de la recta perpendicular. D'aquesta manera trobareu el tercer vèrtex del triangle equilàter. També podeu preguntar al grup classe com ho farien, i demanar que ho provin.[br][br]Un cop teniu els triangles equilàters associats a cada costat del triangle, podeu traçar[b] el segment que uneix els vèrtexs que heu trobat dels triangles equilàters amb el vèrtex oposat del triangle inicial[/b]. Aquests 3 segments es tallen en un mateix punt, que és el punt de Fermat.[br][br]En el següent applet, pots veure els passos de la construcció en detall, a més pots moure els punts per veure com varia, només cal que cliquis a la icona d'engegar:
Recorregut mínim entre 4 punts
Proposta
Ara en comptes de 3 ciutats, en tenim 4. I volem construir la carretera mínima per poder connectar les 4 ciutats. [br]Per exemple volem connectar les ciutats de Mollet del Vallès, El Masnou, Calella i Sant Celoni[br]Com ho hem de fer per haver de construir el mínim de carretera i connectar les quatre ciutats?
Experimentem amb paper
Per a fer-ho ens caldrà provar diferents opcions, proposarem que sobre un paper amb 4 punts, dibuixin diferents opcions i propostes. Les compartirem en petit grup i després en gran grup.[br]Per començar suposarem que els 4 punts estant en un quadrat.[br]Ho dibuixarem sobre la pissarra.
Experimentem amb sabó
Construirem les plaques transparents amb una graella impresa en paper de transparència i 4 imants, de fet, caldrà posar-ne 4 d'allargats (barres de Geomag) entremig de les plaques i 4 de plans a cada costat de les plaques transparents.[br]Col·locarem les plaques dins del sabó i experimentarem amb els resultats que surten.[br]Cal anar movent els punts per veure com canvia la bombolla resultant.[br]Farem una foto vertical de les diferents bombolles resultants.
Graella
I si són 5 punts? I 6?
I si ... ?
Si agafem 5 punts, què passa? I amb 6?[br]Com fem la construcció de manera que coincideixi amb el que diu el sabó?[br]Investiguem?
Mínima superfície de bombolla en un tetraedre
Proposta
[b]Construirem tetraedres[/b], regulars i no regulars i els [b]sucarem dins del sabó[/b] per veure quina serà la bombolla resultant. Un cop sabem què passa amb plaques paral·leles amb 3 i 4 punts, sabent el comportament del sabó amb els 120º, podem intentar predir què pot passar amb políedres. [br]Començarem pels políedres més senzills, el tetraedre. [br][b]Podem fer servir diferent material per construir-los:[/b] canyetes de plàstic amb trossets de filferro per ajuntar-les en els vèrtexs, també podem fer servir pelapipes o algun material de construcció de políedres, però que només tingui les arestes.[br][br]És molt important, [b]treballar la conjectura[/b], per tant, preguntarem primer quina bombolla serà la resultant, i argumentar perquè. Es pot fer pensar individualment, compartir en parella, després en grup de 4, per finalment en gran grup, 1-2-4.
Un cop s'ha vist la bombolla resultant, cal estudiar perquè i intentar deduir les característiques que té.[br]Preguntem com creieu que es podria representar aquesta bombolla en el GeoGebra.[br]Per això explicarem com: [br][list][*]Habilitar [b]la finestra gràfica 3D[/b][/*][*]Construir un [b]tetraedre [icon]/images/ggb/toolbar/mode_tetrahedron.png[/icon] o una piràmide de base triangular [icon]/images/ggb/toolbar/mode_pyramid.png[/icon][/b][/*][*][b]Moure els punts en 3 dimensions[/b], és a dir, que si cliques sobre el punt, el pots moure horitzontalment o verticalment[b].[/b][br][/*][/list]
Ara pots comprovar la potència de les [b]ulleres 3D d'anàglif[/b], és a dir, les que tenen un ull vermell i un de color blau.
Clica a la icona de [b]Preferències[/b] que hi ha a dalt a la dreta i se't desplegarà un menú de Finestra Gràfica 3D, clica sobre Projecció i finalment on diu "[b]Projecció per a les ulleres[/b]". [br]Has de clicar en aquest menú:
Veuràs el [b]tetraedre en tres dimensions amb les ulleres[/b], si mous el tetraedre, tindràs la sensació que surt de la pantalla.[br]Deixarem que es facin propostes de com representar la bombolla, quines eines farien servir, com ho provarien i deixem fer.
Bombolla cúbica (I)
Modelitzem amb un sol paràmetre
Per poder estudiar el comportament d'aquestes [b]bombolles dins del cub[/b], el que pretenem és modelitzar-ho amb [b]un sol paràmetre[/b].[br]A diferència del tetraedre, tot i les simetries, si ho modelitzem, necessitem moure'ns sobre un petit pla, per tant, bidimensional. En canvi, la forma de la bombolla resultant de posar el cub dins, la podem modelitzar amb un sol paràmetre, que podem considerar la mida del quadrat central. Tot i que [b]hi ha 3 possibilitats[/b], que es corresponent amb [b]els quadrats ortogonals als 3 eixos[/b], només cal estudiar-ne un per simetries.[br][br]Considerem un cub de costat un punt lliscant anomenat [b]b[/b]. I construirem un quadrat sobre el pla XY de costat [b]a[/b], centrat dins del cub, també com a punt lliscant. Fixem [b]b[/b] i movem [b]a[/b].[br][br]Un cop tenim el quadrat, construïm les superfícies que modelitzen la bombolla, és a dir, [b]quatre trapezis[/b] connectats als costats del quadrat i amb la cara paral·lela superior, [b]quatre trapezis[/b] també connectats als costats del quadrat i amb la cara paral·lela inferior i, finalment, els [b]quatre triangles[/b] que uneixen cada vèrtex del quadrat amb els dos vèrtexs més propers del cub.[br][br]I en fem dos estudis: El valor dels angles entre les superfícies i la suma de les àrees d'aquestes superfícies.[br][br][b]ANGLES[/b][br][br]Per estudiar[b] els angles entre les superfícies[/b] (que són plans), calcularem el [b]pla ortogonal a un dels costats del quadrat.[/b] Ho farem primer col·locant un punt sobre el costat del quadrat amb l'eina Punt [icon]/images/ggb/toolbar/mode_complexnumber.png[/icon], després cliquem a la eina "Pla perpendicular a una recta" [icon]/images/ggb/toolbar/mode_orthogonalplane.png[/icon] i cliquem sobre el costat del quadrat i el punt. A continuació, farem la [b]intersecció entre aquest pla i el pla de la bombolla[/b], clicant a l'eina "Crea la línia d'intersecció entre les dues superfícies [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersectioncurve.png[/icon], i llavors demanarem que ens [b]calculi l'angle[/b] entre el costat del quadrat i la recta d'intersecció entre els dos plans amb l'eina Angle [icon]/images/ggb/toolbar/mode_angle.png[/icon] [br]Aquest procediemt el farem pels 3 plans de la bombolla, i podrem moure el punt al llarg del costat del quadrat. Per tant, si cliques sobre el punt que hi ha al costat del quadrat i el mous, pots veure com varia i, en canvi, els angles es mantenen constants.[br][br][b]SUMA ÀREES[/b][br][br]Per sumar les àrees dels 8 trapezis i els 4 triangles, ho farem creant una variable nova, en aquest cas li hem dit de forma molt original [b]SumaAreas [/b]i l'igualarem als noms que han pres cada un dels trapezis i triangles. Per exemple, en el nostre cas, són [br]Un cop tenim el valor, només que l'[b]arrosseguem cap a la finestra gràfica[/b], ja ens crearà el text amb el valor, i veurem com varia al moure el punt lliscant [b]a[/b].[br]Per poder veure el valor de SumaAreas dins de la finestra gràfica, ens caldrà utilitzar el zoom per localitzar-lo, un cop tenim el punt localitzat farem que pinti la traça, per això només cal clicar el botó dret sobre el punt i marcar "[b]Activa el traç[/b]".
PrincipiDemoRelacioRadis
Xerrada 1/9/2023 per FotoGeoGebra d'Argentina
Taller FotoGebra 2023[br]La geometría de las burbujas de jabón con GeoGebra[br]Bernat Ancochea , Xavier Espàrrech, Enric Castellà[br][br][url=https://www.youtube.com/watch?v=sBXu4YZ5Tcg]https://www.youtube.com/watch?v=sBXu4YZ5Tcg[/url]
