Un factor en común es un elemento que puede ser tanto numérico como variable que encontramos en todos los términos de nuestro polinomio[br][br][color=#ff0000][b]Ejemplo[/b][/color][br][br][math]\text{2x^2+4x-6}[/math][br][br]Vemos que todos los términos son múltiplos de 2, por lo que nuestro factor común es 2; Si bien la x la vemos en los dos primeros términos en el ultimo no esta por lo que no seria un factor en común de todos los términos.[br][br][math]\text{2(x^2+2x-3)}[/math][br][br]Es importante tener en cuenta los signos; una forma de revisar si nuestro factor quedo bien realizado es multiplicar el factor común (en este caso el 2) por los términos dentro del paréntesis y nos debe dar como resultado el polinomio inicial.[br]

Este caso aplica cuando tengamos una diferencia de cuadrados, que al sacarle la raíz cuadrada de cada termino nos de un entero, a esto se le llama cuadrado perfecto.[br][br][color=#00ff00][b]Correcto [/b] [/color] [b][color=#ff0000] incorrecto[/color][/b][br][math]x^4-y^2[/math] [math]3x^2-6y^2[/math][br][br]En el primer ejemplo si sacamos raíz cuadrada de ambos términos tendremos [math]x^2-y[/math] lo cual son raíces exactas, pero en el segundo caso nos quedaría[math]\sqrt{3}x-\sqrt{6}y[/math] lo cual nos daría números decimales y estos deben ser siempre enteros.[br][br]Ahora, una vez identifiquemos si podemos operar vemos la formula general[br][br]

[color=#0000ff]FORMULA GENERAL DIFERENCIA DE CUADRADOS[/color][br][br][math]\left(a^2-b^2\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)[/math][br][br]Dicho en otras palabras cuando tengamos una diferencia de dos monomios elevados al cuadrado lo podemos reescribir como el producto de la raíz de cada termino sumados, con la raíz de cada termino restados.[br]

Lo veremos mejor con un ejemplo:[br][br][b][color=#ff0000]Ejemplo[/color][br][/b][br]Factorice el siguiente binomio:[math]4x^2-y^4[/math][br][br][i]Lo primero que haremos es revisar si tienen raíz exacta:[br][br][math]\sqrt{4x^2}=\sqrt{4}.\sqrt{x^2}=2.x[/math] nuestro primer termino si tiene raíz exacta[br][/i][math]\sqrt{y^4}=\sqrt{y^2.y^2}=\sqrt{y^2}.\sqrt{y^2}=y.y=y^2[/math][i] vemos que el segundo termino también tiene raíz exacta[br][br][/i]una vez comprobado procedemos a aplicar la formula general, en nuestro ejercicio [math]a=2x[/math] y [math]b=y^2[/math], así que lo escribimos de la siguiente forma para ver mejor los términos de a y b en nuestro ejercicio[br][br][math]\left(2x\right)^2-\left(y^2\right)^2[/math][br][br]Ahora aplicamos la formula general[br][br][math]\left(2x\right)^2-\left(y^2\right)^2=\left(2x-y^2\right).\left(2x+y^2\right)[/math][br][br]y aquí ya tenemos nuestro binomio factorizado.

Ojo deben tener en cuenta que:[br][br][math]a^2+b^2\ne\left(a+b\right)^2[/math] [br][br]es importante no confundir las expresiones, en el caso de la suma de cuadrados debemos utilizar el caso de completar trinomio cuadrado perfecto.

[color=#ff7700][center][b]Repaso de terminología[/b][/center][/color][br][br]Monomio: Termino algebraico de un solo termino; ejemplo: 3x[br]Binomio: Termino algebraico de dos términos; ejemplo: 3x+2y[br]Trinomio: Termino algebraico de tres términos; ejemplo: 3x[sup]2[/sup]+2xy-y[sup]2[br][/sup]Polinomio: Termino algebraico de 4 o mas términos.

[b]3.1 TRINOMIO DE LA FORMA [/b][math]x^2+bx+c[/math][br][br]La forma mas sencilla de factorizar estos trinomios es encontrar dos números enteros que al ser multiplicados nos den como resultado el valor de [i]c[/i] y que al sumarlos o restarlos nos den como resultado el valor de [i]b[/i], los libros nos dirán que estos números los encontremos al sacar los múltiplos de c.[br][br][color=#ff0000][b]Ejemplo 1:[/b][/color][br][br][math]x^2+8x+15[/math][br][br]Si buscamos los múltiplos de 15 tendremos que serian:[br][br]15x1=15 y 3x5=15[br][br]Para que sean los factores al sumarlos deben dar 8[br][br]15+1=16 y 3+5=8[br][br]En este caso los números que cumplen el producto y la suma son 3 y 8, así que los acomodamos en dos factores:[br][br](x+3).(x+5)[br][br]Y así factorizamos estos trinomios.[br][br][color=#ff0000][b]Ejemplo 2:[/b][/color][br][br][math]x^2+5x-6[/math][br][br]Nuevamente sacamos los múltiplos de c teniendo en cuenta el signo de c.[br][br]6x1=6 y 3x2=6[br][br]Pero necesitamos que uno de los dos términos sea negativo para que el resultado del producto sea -6, para determinar el signo realizamos la suma:[br][br]-6+1=-5 o -3+2=-1 o 6-1=5 o 3-2=1[br][br]En este caso los términos que cumplen son 6 y -1[br][br](x+6).(x-1)

[b]3.1.1 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO[br][br][/b]A los trinomios cuyo primer y tercer termino tienen raíz cuadrada exacta y el segundo termino es el doble de estas raíces se le denomina trinomio cuadrado perfecto[br][br][b][color=#ff0000]Ejemplo 1:[br][br][/color][math]x^2+6x+9[/math][color=#00ff00] si es un trinomio cuadrado perfecto[br][br][/color][/b]Porque las raíces del primer termino es x y del tercero es 3[br][br][math]\sqrt{x^2}=x[/math] y [math]\sqrt{3^2}=3[/math][br][br]y el segundo es el doble de estas raíces[br][br][math]\left(2\right).\left(3\right)x=6x[/math][br][br][color=#ff0000][b]Ejemplo 2:[/b][/color][br][br][math]x^2+12x+32[/math] [b][color=#980000]No es un trinomio cuadrado [/color][/b][br][br]Porque el tercer termino no tiene raíz exacta. [math]\sqrt{32}=\sqrt{2^2.2^2.2}=4\sqrt{2}[/math][br][br]Estos trinomios cuadrados perfectos tienen como solución un factor con la suma de las raíces y este se elevara al cuadrado.[br][br]Tomamos el ejemplo 1 y solucionamos[br][br]las raíces son x y 3[br][br][math]\left(x+3\right)^2[/math] este seria el resultado de la factorización.[br]

[b]3.2 TRINOMIO DE LA FORMA [/b][math]ax^2+bx+c[/math][br][br]Su solución es similar a la de los trinomios que ya vimos pero este tiene un paso adicional, lo primero que realizamos es multiplicar y dividir por el termino de a.[br][br][color=#ff0000][b]Ejemplo :[/b][/color][br][br][math]5x^2+7x+2[/math][br][br]multiplicamos y dividimos por 5[br][br][math]\frac{5\left(5x^2+7x+2\right)}{5}[/math][br][br]Después vamos a multiplicar el 5 por todos los factores del polinomio[br][br][math]\frac{\left(5x\right)^2+7\left(5x\right)+10}{5}[/math] [br][br]En este punto ya tenemos un trinomio de la forma [math]x^2+bx+c[/math] pues tenemos el 5x como si fuera x, por lo que solucionamos como aprendimos anteriormente.[br][br][math]\frac{\left(5x+5\right).\left(5x+2\right)}{5}[/math][br][br]ya tenemos nuestros factores, ahora miramos el factor con el que podamos simplificar nuestro denominador, en este caso el que podemos simplificar es el termino 5x+5 con lo que nos quedaría de la siguiente manera:[br][br][math]\left(x+1\right).\left(5x+2\right)[/math][br][br]Aquí ya tenemos la caracterización de nuestro trinomio.

La formula es[br][br][math]\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br][br]Lo primero que debemos realizar es identificar en nuestro trinomio cuales son los términos a,b y c, luego de eso simplemente reemplazamos la formula teniendo en cuenta que los signos de la formula y de los términos.[br][br][b][color=#ff0000]Ejemplo 1:[br][br][math]x^2+10x+21[/math][br][br][/color][/b]En este trinomio tenemos que a=1, b=10 y c=21[br][br]Ahora reemplazamos en la formula[br][br][math]\frac{-10\pm\sqrt{\left(10\right)^2-4\left(1\right).\left(21\right)}}{2.1}[/math][br][br]Comenzamos a reemplazar[br][br][math]\frac{-10\pm\sqrt{100-84}}{2}=\frac{-10\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-10\pm4}{2}[/math][br][br]Aquí tendremos dos factores, uno al sumar y otro al realizar la resta[br][br][math]x_1=\frac{-10+4}{2}=\frac{-6}{2}=-3[/math] y [math]x_2=\frac{-10-4}{2}=\frac{-14}{2}=-7[/math][br][br]Por ultimo para poder determinar los factores vamos a tener que igualar a 0 las dos igualdades que nos dio[br][br]x=-3 x=-7[br]x+3=0 x+7=0[br][br]Ahora juntamos esos dos factores y habremos terminado de factorizar[br][br](x+3).(x+7)[br][br][color=#ff0000][b]Ejemplo 2:[br][br][math]3x^2+7x-6[/math][br][br][/b][/color]Tenemos que a=3, b=7 y c=-6[br][br]Reemplazamos en la formula[br][br][math]\frac{-7\pm\sqrt{\left(7\right)^2-4\left(3\right).\left(-6\right)}}{2.\left(3\right)}=\frac{-7\pm\sqrt{49+72}}{6}=\frac{-7\pm\sqrt{121}}{6}=\frac{-7\pm11}{6}[/math][br][br]Ahora resolvemos tanto la suma como la resta[br][br][math]x=\frac{-7+11}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}[/math] y [math]\frac{-7-11}{6}=\frac{-18}{6}=-3[/math][br][br]Por ultimo igualamos a 0[br][br][math]x=\frac{2}{3}[/math] [math]x=-3[/math][br][math]3x=2[/math] [math]x+3=0[/math][br][math]3x-2=0[/math][br][br]Ya tenemos los dos factores[br][br](3x-2).(x+3)

[b]4.1 DISCRIMINANTE[br][br][/b]El discriminante nos permite confirmar la cantidad de factores que daría como resultado, también nos permite identificar los trinomios cuadrados perfectos y cuando el trinomio no tiene una solución real.[br][br][math]discriminante=b^2-4ac[/math][br][br]Si tiene como resultado un entero positivo el trinomio tiene dos soluciones reales[br]Si el resultado da 0 es un trinomio cuadrado perfecto y solo tiene una solución real[br]Si el resultado da un entero negativo el trinomio no tiene soluciones reales.

Cuando en la formula cuadrática nos de como resultado una raíz inexacta o de un numero negativo no podremos factorizar por este medio ese trinomio, se deberá utilizar el caso de completando el trinomio cuadrado perfecto.