Vetor Gradiente - Rascunho

Conceitos iniciais

Podemos calcular o vetor gradiente em qualquer ponto de uma função [math]f[/math] de várias variáveis.[br]O [b]Applet[/b] abaixo permite a visualização do vetor gradiente [math]\bigtriangledown f[/math] em vermelho na coluna central.[br][br][color=#999999][size=150][b]Interações com o Applet:[br][/b][/size][/color] 1. É possível fixar um valor para z (ou seja, escolher um nível k) através do [b][u]controle deslizante[/u][/b], obtendo uma curva de nível.[br] 2. É possível arrastar o [b][u]ponto[/u][/b] na curva de nível para visualizar a direção e a magnitude do vetor gradiente em diferentes pontos.[br] 3. É possível desmarcar as caixas para não visualizar alguns componentes.[br][br][color=#ff0000]OBS: HÁ ESPAÇO PARA ADICIONAR UMA CAIXA PARA EXIBIR OU NÃO A CURVA DE NÍVEL. É INTERESSANTE REFAZER A LÓGICA DA EXIBIÇÃO DE ALGUNS COMPONENTES. É INTERESSANTE COLOCAR TODAS AS EQUAÇÕES EM UM ÚNICO ESPAÇO E EXIBIR UMA POR CIMA DA OUTRA. É INTERESSANTE COLOCAR AS VISUALIZAÇÕES DOS GRÁFICOS UMA EM CIMA DA OUTRA.[br][/color][br]

Questão 01:

Sobre o número de dimensões do vetor gradiente:

O vetor gradiente tem sempre uma dimensão a menos que a função da qual se está extraindo seu valor. Assim, é mais adequado representar a função em um sistema de coordenadas e o vetor gradiente em outro sistema. O vetor gradiente tem o mesmo número de dimensões que a função da qual se está extraindo seu valor, e a representação do vetor gradiente vista na coluna central do Applet é uma projeção da representação que pode ser vista na coluna da direita. Uma função de duas variáveis pode ser plotada em um sistema de 3 coordenadas. Portanto, seu vetor gradiente contém três coordenadas, sendo mais adequado representá-lo no espaço tridimensional.

Questão 02:

É possível perceber que, para a função dada, todas as curvas de nível são círculos com centro na origem dos eixos de coordenadas. O que se pode afirmar sobre a direção do vetor gradiente?

Para a função apresentada, dado um ponto A que pertence à função, a direção do vetor gradiente neste ponto pode ser representado por uma reta que passa na origem do sistema de coordenadas onde a curva de nível da função está sendo representada. Para a função apresentada, dado um ponto A que pertence à função, a direção do vetor gradiente neste ponto pode ser representado por uma reta que passa na origem do sistema de coordenadas onde a função está sendo representada.

QUESTÃO 03:

Selecionando k = 4 e escolhendo o ponto (0, 2) na curva de nível, pode-se afirmar que:

O vetor poderia ser representado em qualquer lugar, e não deixaria de ser o vetor gradiente no ponto (0, 2), uma vez que para definir um vetor é necessário apenas módulo, direção e sentido. No ponto (0, 2, 4), o tamanho do vetor gradiente é 4. Ao reduzir o valor de k de 4 para 1, o ponto em análise passa a ser (0, 1, 1). Nele, o tamanho do vetor gradiente também cai de 4 para 1. O vetor gradiente tem coordenadas (0, 4), mas sua ponta está no ponto (0,6). Uma normalização do vetor poderia corrigir este problema.

Questão 04:

Sobre

Para esta função, o tamanho do vetor gradiente em um ponto específico é sempre o dobro do raio do círculo que representa a curva de nível que contém aquele ponto. O tamanho do vetor gradiente é igual à curva de Nível. Prova disso é que quando k = 0 o vetor gradiente tem tamanho 0, e quando k = 4 o módulo do vetor gradiente é 4.