En un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo diferente es también una altura del triángulo y una mediatriz.

[b]Respuesta[/b]:[br][br]Al tirar la bisectriz, dividimos [math]\text{Δ}ABC[/math] en dos triángulos: [math]\text{Δ}ABD[/math] y [math]\text{Δ}ACD[/math]. [br][br]Como la bisectriz divide al ángulo A en dos ángulos iguales, entonces [math]\angle BAD=\angle CAD[/math]. Como [math]\text{Δ}ABC[/math] es isósceles, entonces [math]AB=AC[/math] y por tanto [math]\angle DBA=\angle DCA[/math]. [br][br]Por ALA: [math]\text{Δ}ABD\cong\text{Δ}ACD[/math][br][br]Como son congruentes, entonces [math]BD=DC[/math]. Por lo tanto la bisectriz también es una mediatriz.[br][br]Como [math]AB=AC[/math], sus ángulos correspondientes son congruentes: [math]\angle ADB=\angle ADC[/math]. [br][br]Entonces: [math]\angle ADB+\angle ADC=180^\circ\Longrightarrow\angle ADB+\angle ADB=180^\circ\Longrightarrow2\angle ADB=180\Longrightarrow\frac{2\angle ADB}{2}=\frac{180^\circ}{2}\Longrightarrow\angle ADB=90^\circ[/math]. Por lo tanto, la bisectriz también es una altura.