Wie groß ist der Abstand zwischen den Punkten [math]P\left(1|-2\right)[/math] und [math]Q\left(-2|2\right)[/math]?[br]Die Antwort: 5. Wir nutzen hierfür den Satz des Pythagoras und berechnen den Abstand d:[br]Es gilt [math]x_1=1[/math], [math]y_1=-2[/math], [math]x_2=-2[/math] und [math]y_2=2[/math] (x- und y-Koordinaten der Punkte):[br][math]d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}=\sqrt{\left(-2-1\right)^2+\left(2-\left(-2\right)\right)^2}=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(4\right)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5[/math].[br]Wer diese Formel noch nicht gesehen hat, kann sie mit dem folgenden GeoGebra-Arbeitsblatt einmal nachvollziehen.

Bekannt ist der Satz des Pythagoras [math]a^2+b^2=c^2[/math], hier angewendet in der Form [math]c=\sqrt{a^2+b^2}[/math].[br]Im oberen Beispiel ist [math]a^2[/math] nichts anderes als die x-Koordinate des einen Punktes minus die x-Koordinate des anderen Punktes zum Quadrat, also [math]\left(x_2-x_1\right)^2[/math]. Das Gleiche gilt für y-Koordinaten, sodass der Satz des Pythagoras auch geschrieben werden kann als [math]c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\left(x_2-x_1^{ }\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}[/math].

Wir werden nun das gleiche Prinzip wie oben auf drei Dimensionen anwenden. Die Idee: Der Abstand zwischen zwei Punkten [math]P\left(x_1|y_1|z_1\right)[/math] und [math]Q\left(x_2|y_2|z_2\right)[/math] könnte durch [math]d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}[/math] berechnet werden: Die z-Koordinaten werden genauso behandelt wie die beiden anderen Koordinaten.[br][br]Wählen wir als Punkte [math]P\left(1|2|3\right)[/math] und [math]Q\left(-1|3|1\right)[/math]. Im unteren GeoGebra-Sheet könnt ihr mithilfe der Kästchen rechts die einzelnen Schritte zur Berechnung des Abstandes durchklicken. Jeder Schritt ist unterhalb des GeoGebra-Sheets noch einmal erläutert.

Der erste Schritt ist das Einzeichnen der zu berechnenden Länge. Schaut euch zudem an, wie die beiden Punkte ungefähr positioniert sind. Dreht dafür mithilfe der Maus die 3D-Darstellung. Mit einem Klick auf den Knopf "Kamera schräg" könnt ihr die Kamera wieder zurückdrehen (die Position ist dann korrekt, wenn die x-Achse nach unten links zeigt).

Wir ignorieren zunächst die z-Komponente und betrachten die Punkte [math]P_H\left(1|2\right)[/math] und [math]Q_H\left(-1|3\right)[/math] (H steht für "Hilfe", es handelt sich um Hilfspunkte). Klickt ihr auf den Knopf "Kamera von oben", stellt ihr fest, dass die Hilfspunkte und die richtigen Punkte nicht unterscheidbar sind. Das ist gut so, denn jetzt können wir zunächst wie oben in 2D den Satz des Pythagoras anwenden:[br][math]x_1=1[/math], [math]y_1=2[/math], [math]x_2=-1[/math], [math]y_2=3[/math], dann folgt:[br][math]d_H=\sqrt{\left(\left(-1\right)-1\right)^2+\left(3-2\right)^2}=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(1\right)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx2,24[/math]

Nun haben wir die Länge der Hilfsstrecke herausgefunden. Mit Hilfe eines Perspektivwechsels können wir diese Hilfsstrecke nutzen.[br]Führt dazu den Perspektivwechsel aus: Betätigt zunächst den Knopf, der die Kamera in eine seitliche Ansicht fährt. Wir sehen jetzt die violette Strecke unten und können die z-Komponente von P und Q deutlich sehen.[br][br]Startet anschließend die Animation mit dem gleich benannten Knopf. Ihr seht, wie sich die violette Gerade nach oben verschiebt, wodurch erneut ein rechtwinkliges Dreieck gebildet wird. In diesem Dreieck kennen wir zudem die Längen der beiden Katheten:[br]Die violette Kathete hat die Länge [math]\sqrt{5}[/math], die senkrechte (orangene) Kathete hat die Länge [math]3-1=2[/math].

Nun haben wir zwei Katheten und können den Satz des Pythagoras anwenden:[br][math]d=\sqrt{\sqrt{5}^2+2^2}=\sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3[/math].[br]Damit ist der Abstand zwischen den Punkten P und Q 3.

Wir haben eben aufgestellt [math]d=\sqrt{\sqrt{5}^2+2^2}[/math]. In Schritt 4 hatten wir bereits den Abstand [math]d_H=\sqrt{5}[/math] bestimmt. Rechnen wir Schritt 4 rückwärts: [math]5=4+1=\left(-2\right)^2+1^2=\left(\left(-1\right)-1\right)^2+\left(3-2\right)^2[/math] [br]Dann folgt für den Abstand:[br][math]d=\sqrt{\sqrt{5}^2+2^2}=\sqrt{5+2^2}=\sqrt{\left(\left(-1\right)-1\right)^2+\left(3-2\right)^2+\left(3-1\right)^2}[/math]. Diese Gleichung entsteht, wenn man die Punkte P und Q in die Formel von oben:[br] [math]d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}[/math] [br]einsetzt.[br]