Obiettivo[br]Capire che moltiplicare per un numero complesso A equivale a:[br][list][*]una [b]rotazione[/b][br][/*][*]e una [b]dilatazione[/b][/*][/list]Al fine di far capire meglio cosa succede quando si moltiplica un numero complesso [math]z=x+iy[/math] per un complesso dato [math]A=a+ib[/math] (che chiameremo fattore moltiplicativo) si fa la seguendo procedura:[br]1. scelgo un numero complesso [math]z=x+iy[/math] e il fattore moltiplicativo [math]A=a+ib[/math][br]2. calcolo algebricamente modulo e argomento (angolo che rappresenta la direzione) di [math]z[/math];[br]3. visualizzo il vettore corrispondente;[br]4.traccio anche la circonferenza che ha centro nell'origine e raggio pari a[math]|z|[/math][br]4. trovo modulo e direzione del fattore moltiplicativo [math]A[/math];[br]6. moltiplico il numero complesso [math]z[/math], per il fattore moltiplicativo [math]A[/math] ottenendo i vettore [math]z'=A\cdot z[/math];[br]7. Vogliamo scoprire che relazione c'è tra i due numeri complessi (vettori) [math]z[/math] e [math]z'[/math] in relazione alle caratteristiche del fattore moltiplicante [math]A[/math][br]
Sia dato il seguente numero complesso:[br][math]z=4+2i[/math][br]Calcola algebricamente e riporta sotto il modulo e l'argomento ricordando che[br] [math]\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}=....\longrightarrow\Theta=arctg\left(\frac{y}{x}\right)=...[/math] ;[br]
Nella barra di inserimento di GeoGebra [b]inserisci i numeri complessi z e il fattore moltiplicativo A[/b]:[br][math]z=4+2i[/math][br]GeoGebra lo rappresenta automaticamente come punto.[br][b]Traccia il vettore[/b] corrispondente a tale punto con il comando:[br][math]z=vettore\left(\left(0,0\right),z\right)[/math][br]Determina [b]modulo[/b] e [b]argomento[/b] (angolo) con i seguenti comandi:[br][math]\rho_z=Lunghezza\left(z\right)[/math][br][math]\theta=Angolo\left(z\right)[/math][br]Inserisci circonferenza di centro l'origine:[br]c: x^2+y^2=(Lunghezza(z))^2[br][br]Inserisci il fattore moltiplicativo [math]A=a+ib[/math]:[br][b]crea due slider:[/b][br]a che varia da -3 a 3[br]b che varia da -3 a 3[br][b]Visualizza il punto associato[/b][br]A=a+ib[br][b]Traccia il vettore[/b] corrispondente a tale punto con il comando:[br][math]v_A=vettore\left(\left(0,0\right),A\right)[/math][br]Determina [b]modulo[/b] e [b]argomento[/b] (angolo) con i seguenti comandi:[br][math]\rho_A=Lunghezza\left(v_A\right)[/math][br][math]\theta_A=Angolo\left(\left(1,0\right),A\right)[/math][br]
[list=1][*]Come varia il modulo di A?[/*][*] Cosa succede quando A si trova sulla circonferenza di raggio [math]l_z[/math]?[/*][*]Cosa rappresenta l’argomento di A?[/*][/list]
Svolgi le moltiplicazioni suggerite tra i vettori espressi in forma algebrica:[br][math]z'=A\cdot z[/math];[br]Calcola sul tuo quaderno e riporta sotto il modulo e l'argomento ricordando che [math]\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2};....\longrightarrow\Theta=arctg\left(\frac{b}{a}\right)[/math] ;[br][math]z'=....\longrightarrow\Theta_{z'}=...[/math][br][br]Il vettore z' ha lunghezza diversa rispetto ai vettori corrispondenti ai numeri complessi [math]z[/math] e [math]A[/math] ?[br]Che direzione ha z' rispetto a quelle dei vettori corrispondenti ai numeri complessi [math]z[/math] e [math]A[/math] ?
[math][/math]Poni nella barra di inserimento anche il numero complesso che corrisponde al prodotto del numero complesso z per il [b]moltiplicatore[/b] A scelto in base ai valori degli slider a e b:[br][br]Nota il [b]modulo[/b] e [b]argomento[/b] (angolo) dai precedenti comandi:[br][math]Lengthz\left(A\right)[/math][br][math]Angle\left(\Theta_A\right)[/math][br][br]Inserisci nella barra inserimento le moltiplicazioni suggerite tra i vettori:[br][math]z'=A\cdot z[/math][br][br][b]Traccia il vettore [/b]corrispondente a tali punti con i comandi:[br][math]v_{z'}=vettore\left(\left(0,0\right),z'\right)[/math][br][br]Determina [b]modulo[/b] e [b]argomento[/b] (angolo) con i seguenti comandi:[br][math]l_{z'}=Length\left(z'\right)[/math][br][math]Angle\left(z'\right)[/math][br]
[br][br][b]Caso 1: ( |A| = 1 )[/b][br][br][list][b] Domande[/b][/list][list=1][*]Dove si trova z' rispetto alla circonferenza di raggio |z|?[/*][*] Il modulo di z cambia?[/*][*]Quanto cambia l’angolo di z' rispetto a z?[/*][*]Riesci a collegare l’angolo di z' con quello di z e A?[/*][*]Che tipo di trasformazione ha subito il vettore corrispondente al numero complesso z dopo essere stato trasformato dal fattore moltiplicativo A?[/*][/list][list][/list][br][br]
[b]Caso 2: ( |A| < 1 )[/b][br][br][br][b]Domande[/b][list=1][*]Dove si trova z' rispetto alla circonferenza di raggio |z|?[/*][*]Il vettore corrispondente al numero complesso z' è più lungo o più corto rispetto al vettore corrispondente al numero complesso z?[/*][*] Quanto cambia l’angolo di z' rispetto a z?[/*][*]Che tipo di trasformazione ha subito il vettore corrispondente al numero complesso z dopo essere stato trasformato dal fattore moltiplicativo A?[br][/*][/list]
[b]Caso 3: ( |A| > 1 )[/b][br][list=1][*]Dove si trova Z' rispetto alla circonferenza?[/*][*]Il vettore corrispondente al numero complesso z' è più lungo o più corto rispetto al vettore corrispondente al numero complesso z?[/*][*] Quanto cambia l’angolo di z' rispetto a z?[/*][*]Che tipo di trasformazione ha subito il vettore corrispondente al numero complesso z dopo essere stato trasformato dal fattore moltiplicativo A?[/*][/list][br]
Caratterizza sotto, i tipi di trasformazione geometrica che ha subito il triangolo trasformato dal fattore moltiplicativo [math]A[/math]
Caratterizza sotto, i tipi di trasformazione geometrica che subisce un numero complesso trasformato dal fattore moltiplicativo [math]A[/math][br](specifica la trasformazione del suo modulo e del suo argomento in relazione alle caratteristiche del modulo e argomento del fattore moltiplicativo [math]A[/math])[br][list=1][*]Come si combinano gli argomenti?[/*][*] Come si combinano i moduli?[/*][*] Puoi formulare una regola generale?[/*][/list][list][/list][br][br]
Scrivi sotto il numero complesso z=x+iy di modulo |z| e argomento [math]\Theta_z[/math] in forma trigonometrica
Scrivi sotto il fattore moltiplicativo [math]A[/math] (numero complesso) [math]A=a+ib[/math] di modulo [math]|A|[/math]e argomento [math]\varphi_A[/math] in forma trigonometrica
Svolgi i calcoli sul quaderno e riporta il risultato del prodotto che conferma quanto hai scoperto con geogebra.
Scrivi ora i due numeri complessi z e A in forma esponenziale:
Svolgi i calcoli sul quaderno e riporta sotto il risultato del prodotto. [br]Vengono confermati i risultati precedenti?[br]Quale regola possiamo evidenziare per indicare il prodotto tra due numeri complessi espressi attraverso la forma esponenziale?[br][br]
Scrivi sotto i numeri complessi in forma cartesiana [math]z=x+iy[/math] e il fattore moltiplicativo [math]A=a+ib.[/math][br]Svolgi i calcoli sul quaderno per determinarne il prodotto e ottenere le caratteristiche del numero complesso z'. Scrivi sotto i risultato ottenuto.
In quale forma conviene guardare i numeri complessi per eseguire una moltiplicazione?
Fai sotto le tue considerazioni sull'attività svolta.