Wenn zwei Datensätze den gleichen Mittelwert haben, dann können sie doch sehr unterschiedlich sein.[br]Sehen wir uns als Beispiele den Ausgang von drei Klassenarbeiten an:[br][br]Klasse 9a:[br][math]\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c}[br]Note&1&2&3&4&5&6\\[br]\hline[br]Häufigkeit&10&0&0&0&10&0[br]\end{array}[/math][br]Klasse 9b:[br][math]\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c}[br]Note&1&2&3&4&5&6\\[br]\hline[br]Häufigkeit&0&0&20&0&0&0[br]\end{array}[/math][br]Klasse 9c:[br][math]\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c}[br]Note&1&2&3&4&5&6\\[br]\hline[br]Häufigkeit&3&5&4&5&3&0[br]\end{array}[/math][br]In allen drei Klassen sind 20 Schülerinnen und Schüler. [br]Die Mittelwerte sind:[br][math]\overline x(\text{Klasse 9a}) =\frac 1{20}(10\cdot 1 + 10\cdot 5)=\frac{60}{20}=3 [/math][br][math]\overline x(\text{Klasse 9b}) =\frac 1{20}(20\cdot 3)=\frac{60}{20}=3 [/math][br][math]\overline x(\text{Klasse 9c}) =\frac 1{20}(3\cdot 1+5\cdot 2+4\cdot 3+5\cdot 4+3\cdot 5+0\cdot 6)=\frac{60}{20}=3 [/math][br]Die Mittelwerte sind also gleich. Dennoch sind die Arbeiten sehr unterschiedlich ausgefallen.

Man kann die beiden Arbeiten aber vergleichen, indem man beobachtet, wie stark sich die erreichten Ergebnisse vom Mittelwert unterscheiden: [br][list][*]In Klasse 9a gibt es keine einzige Arbeit, die nahe am Mittelwert liegt[/*][*]In Klasse 9b sind alle Arbeiten genau gleich dem Mittelwert.[/*][*]In der Klasse 9c gibt es bis auf die 6 alle Zensuren[/*][/list]Man sagt, in der Klasse 9a "streuen die Werte stark um den Mittelwert" (sie sind strak "verstreut"), in der Klasse 9c streuen sie weniger und in der Klasse 9b sind die Ergebnisse gar nicht gestreut, sie liegen alle auf dem gleichen Wert.

[color=#980000]Zum [b]arithmetischen Mittel[/b] als Mittelwert gehört als Streuungsmaß die [b]Standardabweichung[/b].[/color][br]Man betrachtet hier von jedem Messwert [math]x_i[/math] die Differenz zum Mittelwert: [math](x_i-\overline{x})[/math] . [br][b]Die Standardabweichung[/b] [math]s_n[/math] [b]ist die Wurzel der mittleren Abstandsquadrate[/b]:[br][math]\text{\Large{$\boxed{ \displaystyle{ s_n=\sqrt{\frac{1}{n}\cdot\left((x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+...+(x_n-\overline{x})^2\right)}}}$}}[/math][br][br]oder wenn - wie bei den Ergebnissen der Klassenarbeiten - diese mit Häufigkeiten [math]h_i[/math] angegeben sind:[br][br][math]\text{\Large{$\boxed{ \displaystyle{ s_n=\sqrt{\frac{1}{n}\cdot\left((x_1-\overline{x})^2\cdot h_1+(x_2-\overline{x})^2\cdot h_2+(x_3-\overline{x})^2\cdot h_3+...\right)}}}$}}[/math][br][br]Das Quadrat der Standardabweichung, also alles was unter der Wurzel steht, nennt man auch die Varianz [math]V[/math]:[br][math]\text{\Large{$\boxed{ V=s_n^2}$}}[/math][br]Die Varianz ist aber eher ein sinnvoller Zwischenschritt für die Berechnugn der Standardabweichung und hat als Streumaß keine große Bedeutung.[br]

Beide Klassenarbeiten haben das arithmetische Mittel [math]\overline x = 3[/math][br][br][math]\begin{array}{rl}[br]s_{20}(\text{Klasse 9a}) =&\displaystyle{ \sqrt{\frac 1{20}\cdot \Big ((1-3)^2\cdot 10+(2-3)^2\cdot 0+(3-3)^2\cdot 0+(4-3)^2\cdot 0+(5-3)^2\cdot 10+(6-3)^2\cdot 0\Big)}}\\[br]=&\displaystyle{\sqrt{\frac 1{20}\cdot \Big( (1-3)^2\cdot 10+(5-3)^2\cdot 10\Big)}}=\sqrt{\frac{80}{20}}\\[br]=&\sqrt{4}=\underline{\underline{2}}[br]\end{array}[/math][br]und [br][math]\begin{array}{rl}[br]s_{20}(\text{Klasse 9b}) =&\displaystyle{ \sqrt{\frac 1{20}\cdot \Big( (1-3)^2\cdot 0+(2-3)^2\cdot 0+(3-3)^2\cdot 20+(4-3)^2\cdot 0+(5-3)^2\cdot 0+(6-3)^2\cdot 0\Big)}}\\[br]=&\displaystyle{\sqrt{\frac 1{20}\cdot \Big((3-3)^2\cdot 20\Big)}}=\sqrt{\frac 0{20}}\\[br]=&\sqrt{0}=\underline{\underline{0}}[br]\end{array}[/math][br]und[br][math]\begin{array}{rl}[br]s_{20}(\text{Klasse 9c}) =&\displaystyle{ \sqrt{\frac 1{20}\cdot \Big( (1-3)^2\cdot 3+(2-3)^2\cdot 5+(3-3)^2\cdot 4+(4-3)^2\cdot 5+(5-3)^2\cdot 3+(6-3)^2\cdot 0\Big)}}\\[br]=&\sqrt{\frac {34}{20}}\approx\underline{\underline{1,3}}[br]\end{array}[/math][br]Das heißt in der Klasse 9a gibt es eine Streuung von [math]s_{20}=2[/math]. Das Ergebnis der Klassenarbeit war daher [math]\underline{\underline{\overline x \pm s_{20}=3\pm 2}}[/math][br]In der Klasse 9b gibt es eine Streuung von 0. Das Ergebnis der Klassenarbeit war daher [math]\underline{\underline{\overline x \pm s_{20}=3\pm 0}}[/math][br]In der Klasse 9c gibt es eine Streuung von 1,3. Das Ergebnis der Klassenarbeit war daher [math]\underline{\underline{\overline x \pm s_{20}=3\pm 1,3}}[/math]