Siano [math]\varphi_a[/math] e [math]\gamma[/math], rispettivamente, i grafici rappresentativi delle funzioni:[br][math]f_a\left(x\right)=\frac{ax^2}{x-1}[/math] con [math]a\ne0[/math] e [math]g\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x^2+1}[/math].

(a) Al variare del parametro [math]a[/math], studiare gli intervalli di monotonia della funzione [math]f_a[/math].

(a) Considerata la retta [math]r[/math], di equazione [math]y=k[/math], [math]\left(k\in\mathbb{R}\right)[/math], determinare i valori di [math]a[/math] e [math]k[/math] in modo che [math]r[/math] risulti tangente ai grafici di [math]\varphi_a[/math] e [math]\gamma[/math].[br][br][i][u]Nota[/u]: A mio parere questa richiesta è ambigua, in quanto non è chiaro se la retta debba essere tangente contemporaneamente o meno ai grafici delle due funzioni. [br]Lo svolgimento che presento di seguito assume questa contemporaneità.[/i]

(b) Siano [math]A[/math] e [math]B[/math] i punti stazionari, rispettivamente, dei grafici [math]\varphi_a[/math] e [math]\gamma[/math], con [math]x_A\ne0[/math] e [math]x_B>0[/math].[br]Determinare il valore di [math]a[/math] in corrispondenza del quale la misura del segmento [math]AB[/math] risulti minima.[br][br][i]Nota: Qui la contemporaneità della tangenza che ho menzionato in precedenza ha senso... una volta visto il risultato.[/i]

D'ora in avanti si ponga [math]a=\frac{1}{8}[/math].[br][br](c) Studiare le funzioni [math]f_{\frac{1}{8}}[/math] e [math]g[/math], esaminandone in particolare la continuità e la derivabilità, e tracciare i loro grafici [math]\varphi_{\frac{1}{8}}[/math] e [math]\gamma[/math] in un medesimo sistema di riferimento.[br]Utilizzare tali grafici per risolvere la disequazione [math]f_{\frac{1}{8}}\left(x\right)>g\left(x\right)[/math].

(d) Calcolare l'area della regione finita di piano delimitata da [math]\gamma[/math], dall'asse [math]x[/math] e dalle rette parallele all'asse [math]y[/math] passanti per i punti di flesso.