Die Ableitung der Funktion ist die Funktion

Gibt es eine Funktion deren Ableitung wieder die selbe Funktion ist?
Um diese Frage zu beantworten, legen wir zunächst einen Punkt fest, durch den die Funktion gehen soll: (0|1)[br]Von dort aus wird nun schrittweise der Verlauf der Funktion hergeleitet. [br][br]Für die gesuchte Funktion f(x) muss gelten: [math]f(x)=f'(x)[/math][br]Anschaulich bedeutet das: In jedem Punkt muss die (momentane) [b][color=#ff7700]Steigung[/color][/b] der Funktion [b]gleich dem [color=#38761d]y-Wert[/color][/b] an diesem Punkt sein.[br]Machen Sie sich diesen Sachverhalt mit dem folgenden Geogebra-Applet klar. (Hier ist beispielhaft die Stelle x=0.8 gezeigt, das soll aber natürlich für jeden x-Wert so sein.)
Wenn unsere gesuchte Funktion durch P(0|1) geht, welche Steigung muss sie in diesem Punkt haben?
Die Funktion muss wegen der Steigung in P(1|0) rechts von diesem Punkt erstmal nach oben gehen. Sie verläuft also kurzzeitig nach rechts oben.[br]Allerdings könnte es durchaus sein, dass die Funktion irgendwann rechts der y-Achse wieder nach unten geht.[br]Welche der oben gezeigten Funktionsverläufe bleiben dadurch nur noch übrig?
Überlegen wir uns als nächstes, ob die Funktion rechts von der y-Achse eine Nullstelle haben könnte:[br][br]Angenommen die Funktion hätte z.B. bei N(0|3) eine Nullstelle.[br]Um runter auf die Höhe der x-Achse zu kommen, müsste die Funktion irgendwann zwischen x=0 und x=3 fallen.[br][br]Wenn die Funktion fällt, hat sie eine ____________ Steigung.
Was bedeutet eine negative Steigung für den y-Wert unserer Funktion?[br][br](TIPP: Beachten Sie die Bedingung vom Anfang.)
Das heißt unsere Funktion müsste zwischen x=0 und x=3 negative y-Werte (also Punkte unterhalb der x-Achse) haben.[br]Um unter die x-Achse zu kommen, muss die Funktion sie erstmal durchqueren, das heißt eine neue Nullstelle M haben - und das schon vor x=3 ![br]Warum ist das nicht möglich?
[br][math]\Rightarrow[/math] Die Funktion kann rechts der y-Achse also gar nicht auf y=0 (und damit auch nicht y<0) fallen!
Die Funktion hat somit ...
Da die Funktion rechts der y-Achse nur positive y-Werte hat, kann sie auch nur positive Steigungen haben. Welche der obigen Funktionsverläufe sind daher noch möglich?
Um herauszufinden, welche der drei Funktionsverläufe am ehesten infrage kommt, muss der Wert der Steigungen genauer unter die Lupe genommen werden:[br][br]Im Punkt P(0|1) ist die Steigung 1. Da die Funktion aber nach rechts oben geht, erhöht sich der y-Wert und somit auch die Steigung.[br]Das kann man näherungsweise veranschaulichen, indem stückweise lineare Funktionsteile eingezeichnet werden:[br]
Warum wurde im obigen Schaubild ab dem x-Wert 1 eine lineare Strecke mit der Steigung 2 verwendet?
Wenn die linearen Stücke immer weiter verfeinert werden, erhält man folgendes Schaubild:[br][br]Überlegen Sie sich zuerst, wie die linke Seite aussehen müsste, bevor sie sie anzeigen lassen!
Für die Werte links der y-Achse kann mit ähnlichen Argumenten wie zuvor die zweite Hälfte des Schaubilds erstellt werden.[br]Aktivieren Sie die Ansicht der linken Hälfte im obigen Schaubild.[br][br]Welchen Typ von Funktion zeigt das Schaubild?[br]
Bestimmen Sie mit folgendem Geogebra-Applet näherungsweise die Basis, mit der die Bedingung vom Anfang erfüllt ist:
Überprüfen Sie Ihre Vermutung mit folgendem Geogebra-Applet und bestimmen Sie möglichst genau den Wert der Basis:
Bonus-Aufgabe
Am Anfang wurde der Punkt (0|1) festgelegt. Hätten wir auch einen anderen Punkt festlegen können? Versuchen Sie es zunächst mit P(0|2), dann mit P(0|3). Finden Sie heraus, welche Funktionen noch alles die ursprüngliche Bedingung ([math]f(x)=f'(x)[/math]) erfüllen.[br][br]Gibt es eine Funktion mit [math]f(x)=f'(x)[/math] , die durch den Punkt P(4|7) geht?[br]Kann man für jeden beliebigen vorgegebenen Punkt eine Funktion mit [math]f(x)=f'(x)[/math] finden?
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– PneqNP

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