M11 - Newton-Verfahren
Manchmal lassen sich die Nullstellen einer Funktion f nicht oder nur schwer durch Lösen der Gleichung f(x)=0 bestimmen.[br]Mithilfe des Newton-Verfahrens, lässt sich eine Nullstelle [math]x_{\ast}[/math] aber beliebig genau nähern, wenn man den Startwert [math]x_0[/math] des Verfahrens passend wählt.[br][br]Die Idee des Newton-Verfahrens ist, dass man die Funktion f durch diejenige lineare Funktion annähert, die in der Nähe der Stelle [math]x_0[/math] am besten zur Funktion f passt. Der Graph dieser linearen Funktion ist gerade die Tangente an den Graphen von f an der Stelle [math]x_0[/math].[br][br]Die Nullstelle dieser linearen Näherungs-Funktion lässt sich leicht bestimmen und stellt den neuen Näherungswert [math]x_1[/math] für die Nullstelle [math]x_{\ast}[/math] dar.[br][br]Die Funktion f wird nun wieder durch diejenige lineare Funktion genähert, die in der Nähe dieser Stelle [math]x_1[/math] am besten zu ihr passt. Dann wird wiederum die Nullstelle dieser linearen Funktion als neuer Näherungswert [math]x_2[/math] verwendet. Das Verfahren kann beliebig oft durchgeführt werden, um immer bessere Näherungswerte zu erhalten. Ob das allerdings gelingt, hängt von der Wahl des Startwertes [math]x_0[/math] ab.
Wir wollen nun die Berechnungsvorschrift für die einzelnen Näherungswerte [math]x_1[/math], [math]x_2[/math], [math]x_3[/math], ... der Nullstelle ermitteln. Dazu wollen wir uns im konkreten Fall ansehen, wie wir den Näherungswert [math]x_1[/math] berechnen können, wenn wir den Funkttionsterm [math]f\left(x\right)[/math] und den Startwert [math]x_0[/math] kennen.
Welche Steigung m besitzt die orange gestrichelte Tangente?
Wie groß ist der Wert [math]\triangle y[/math] des eingezeichneten Steigungsdreiecks?
Wie groß ist der Wert [math]\triangle x[/math] des eingezeichneten Steigungsdreiecks?
Wenn wir nun mit den eben gesammelten Erkenntnissen die Gleichung für die Steigung [math]m=\frac{\triangle y}{\triangle x}[/math] der Tangenten aufstellen, können wir diese nach [math]x_1[/math] umstellen.[br][br]Wie lautet dann die Berechnungsformel für [math]x_1[/math]?
Wenn wir nun bereits den n-ten Näherungswert kennen und nun den (n+1)-ten Näherungswert ermitteln wollen.[br][br]Wie lautet dann die Berechnungsformel?
Weiterführende Aufgaben
Betrachte die Funktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=x^3-2x+2[/math] und führe das Newton-Verfahren für den Startwert [math]x_0=1[/math] durch. Notiere deine Beobachtung.
Betrachte weiterhin die Funktion [math]f[/math] mit [math]f\left(x\right)=x^3-x^2+1[/math]. Überlege, für welche Startwerte [math]x_0[/math] der Wert [math]x_1[/math] nicht definiert ist und das Newton-Verfahren somit abbricht.[br]Überprüfe deine Vermutung anschließend mithilfe des Applets.