Circunferencia unitaria 4°B
Objetivos:
[list][*]Describir las coordenadas de puntos en la circunferencia unitaria.[/*][*]Describir el objeto matemático de radián.[/*][*]Convertir radianes a grados sexagesimales.[/*][*]Relacionar las coordenadas de la circunferencia unitaria con las funciones coseno y seno.[/*][/list]
Conocimientos previos:
¿En qué tipo de triángulos [b]siempre[/b] se puede utilizar las razones trigonométricas?
En un triángulo rectángulo, ¿qué tipo de ángulo deben ser los ángulos que [b]no[/b] son rectos?
Define qué es un ángulo agudo.
En un triángulo rectángulo, ¿se puede calcular el seno(120º)?
Actividad 1: Circunferencia Unitaria
Para extender la trigonometría a todos los ángulo reales, utilizaremos la circunferencia unitario.[br][br]La [b]circunferencia unitaria[/b] (o círculo trigonométrico) es una circunferencia que tiene un [b]radio exactamente igual a 1[/b] y su centro está ubicado en el origen de un plano cartesiano, es decir, en las coordenadas (0,0).
Actividad 1: Concepto de radián
Pregunta 1
Mueve el deslizador L hasta exactamente [b]1:[/b] esto es un [b]radián[/b]. Sin mover más el deslizador, mira tu pantalla y haz una estimación: ¿Cuántos de estos trozos enteros crees que necesitas para dar exactamente media vuelta al círculo? ¿2, 3, 4? Justifica lo que ves.
Pregunta 2
Ahora mueve el deslizador L hasta que el arco rojo llegue exactamente a la [b]mitad[/b] de la circunferencia (media vuelta). Mira el número en la pantalla. Verás que necesitas [b]3 radios enteros[/b] [b]y un poco más[/b]. ¿Cuál es el [b]valor exacto[/b] de ese deslizador al llegar a la mitad? ¿A qué famoso [b]número[/b] se parece? ¿Por qué [b]crees[/b] que aparece este número aquí?
Pregunta 3
Sigue avanzando el deslizador L hasta dar la [b]vuelta completa[/b]. ¿Qué valor alcanzas al [b]cerrar el círculo[/b]? [b]Relaciona[/b] este número final con la fórmula que aprendiste en Educación Básica para calcular el [b]perímetro[/b] de cualquier circunferencia ([math]P=2\cdot\pi\cdot r[/math]). [b]Explica[/b] esta relación con tus palabras.
Pregunta 3
Sigue avanzando el deslizador L hasta dar la [b]vuelta completa[/b]. ¿Qué valor alcanzas al [b]cerrar el círculo[/b]? [b]Relaciona[/b] este número final con la fórmula que aprendiste en Educación Básica para calcular el [b]perímetro[/b] de cualquier circunferencia ([math]P=2\cdot\pi\cdot r[/math]). [b]Explica[/b] esta relación con tus palabras.
Pregunta 4
En términos de medida angular, ¿a cuántos grados [b]sexagesimales[/b] equivale [b]media[/b] vuelta?
Pregunta 5
En términos de medida angular, ¿a cuántos [b]radianes[/b] equivale [b]media[/b] vuelta?
Pregunta 6
En términos de medida angular, ¿a cuántos grados [b]sexagesimales[/b] equivale una vuelta [b]completa[/b]?
Pregunta 7
En términos de medida angular, ¿a cuántos [b]radianes[/b] equivale una vuelta [b]completa[/b]?
Pregunta 8
¿Cuál es la relación matemática entre los radianes y los grados sexagesimales? Explica con tus palabras (los resultados de las pregunta 4 a las 7 te pueden ayudar).
Definción de radián:
Relación de conversión radián - grado sexagesimal:
Relación Grado sexagesimal - Radián:
Actividad 2: Funciones trigonométricas
Pregunta 1.
Mueve el ángulo en tu simulador a exactamente [b]90°[/b] ([math]\frac{\pi}{2}[/math] radianes). En ese momento, el punto P está en la parte más alta del círculo. ¿Cuáles son las coordenadas del punto P?
Pregunta 2
Sabiendo que x=cos([math]\alpha[/math]) e y=sen([math]\alpha[/math]), deduce sin usar calculadora: ¿Cuánto vale cos(90°) y cuánto vale sen(90°)?
Pregunta 3
Completa la siguiente tabla moviendo tu punto por los ejes principales del plano cartesiano:[br][table][tr][td]Ángulo ([math]\pi[/math])[/td][td]Coordenada [i]x[/i] (coseno)[/td][td]Coordenada [i]y[/i] (seno)[/td][/tr][tr][td]0° (0)[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td]180° ([math]\pi[/math])[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td]270° ([math]\frac{3\pi}{2}[/math])[/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td]360° ([math]2\pi[/math])[/td][td][/td][td][/td][/tr][/table]
Si tomas tu calculadora e intentas calcular el sen[sup]-1[/sup](2) o arcsen(2) (es decir, buscar un ángulo cuyo seno sea 2), la calculadora te arrojará [b]"MATH ERROR"[/b].
Pregunta 4
Observando el tamaño de tu Círculo Unitario, ¿por qué es lógicamente imposible que el Seno o el Coseno de un ángulo den como resultado el número 2 o el número -1.5? Justifica tu respuesta.
Pregunta 5
¿En qué cuadrante(s) el Coseno (la coordenada [i]x[/i]) y el Seno (la coordenada [i]y[/i]) tienen [b]exactamente el mismo signo[/b]? (Ambos positivos o ambos negativos).
Pregunta 6
Imagina que debes explicarle a alguien que no sabe nada de trigonometría qué fue lo que hicimos hoy. Escribe a continuación [b]las 3 ideas más importantes[/b] que aprendiste sobre la Circunferencia Unitaria, los Radianes y las coordenadas ([i]x[/i], [i]y[/i]). Sé claro y directo.
Pregunta 7
Dibuja mentalmente (o en papel) el triángulo rectángulo que se forma dentro del círculo unitario:[br][list][*]La base del triángulo mide [i]x[/i] (Coseno).[/*][*]La altura del triángulo mide [i]y[/i] (Seno).[/*][*]La hipotenusa es el radio del círculo, que mide [b]1[/b].[/*][/list]Si aplicas el [b]Teorema de Pitágoras[/b] (a[sup]2[/sup] + b[sup]2[/sup] = c[sup]2[/sup]) a este triángulo específico, ¿qué relación entre el seno y el coseno encuentras?