Merkwaardige lijnen in een driehoek
In dit GeoGebraboek bestuderen we de merkwaardige lijnen in een driehoek. [b]Bronvermelding:[/b] Carreyn,B. et al. (2022). Nando 1 (module 06). Brugge: Die Keure. Carreyn,B. et al. (2021). Nando 3 (module 16). Brugge: Die Keure.
Table of Contents
- Herhaling merkwaardige lijnen
- Herhaling merkwaardige lijnen
- Middelloodlijn
- Middelloodlijnen in een driehoek
- Bissectrice
- Bissectrices in een driehoek
- Oefeningen
- Oefeningen
Herhaling merkwaardige lijnen
Voordat we de bissectrice en middelloodlijn van een driehoek gaan bekijken, gaan we eerst de bissectrice van een hoek en de middelloodlijn van een lijnstuk herhalen. Ook gaan we de zwaartelijn en hoogtelijn van een driehoek herhalen.
1 De middelloodlijn van een lijnstuk
Bekijk de onderstaande tekening van de middelloodlijn g van het lijnstuk [AB]. Los onderstaande vragen op:
Versleep de punten A en B, bekijk wat er met de afstand tussen [AM] en [BM] gebeurt. [br]Duid het juiste antwoord aan:
Probeer nu de definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk aan te vullen aan de hand van de bovenstaande tekening:[br][br][b]De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het (...) van dat lijnstuk gaat en (...) op dat lijnstuk staat. [/b]
2 Hoe teken ik de middelloodlijn van een lijnstuk?
Als je niet meer weet hoe je de middelloodlijn van een lijnstuk moet tekenen, bekijk je de onderstaande applet. Onderaan kan je met de pijltjes de verschillende stappen doornemen.
3 De bissectrice van een hoek
Bekijk de onderstaande tekening van de bissectrice i van de hoek Â. Los onderstaande vragen op:
Versleep de punten B en C, bekijk wat er met de hoeken Â1 en Â2 gebeurt. [br]Duid het juiste antwoord aan:
Probeer nu de definitie van de bissectrice van een hoek aan te vullen aan de hand van de bovenstaande tekening:[br][br][b]De bissectrice van een hoek is de rechte die door het (...) gaat en die deze hoek in twee (...) delen verdeelt.[/b]
4 Hoe teken ik de bissectrice van een hoek?
Als je niet meer weet hoe je de bissectrice van een hoek moet tekenen, bekijk je de onderstaande applet. Onderaan kan je met de pijltjes de verschillende stappen doornemen.
5 De zwaartelijn en hoogtelijn in een driehoek
Bekijk de onderstaande tekening en los de vragen op.
Zwaartelijn in een driehoek
Bekijk eerst de rechte g, dit is de zwaartelijn van de hoek B. [br][br]Versleep de hoekpunten van de driehoek en duid de juiste antwoorden aan.
[b]Nu heb je zelf de definitie van een zwaartelijn in een driehoek ontdekt, vul de definitie verder aan: [/b][br]Een zwaartelijn in een driehoek is een rechte door een (...) en door het (...) van de (...) zijde.
Hoogtelijn in een driehoek
Bekijk vervolgens de rechte f, dit is de hoogtelijn uit  op [BC].[br][br]Versleep de hoekpunten van de driehoek en duid de juiste antwoorden aan.
[b]Nu heb je zelf de definitie van een hoogtelijn in een driehoek ontdekt, vul de definitie verder aan: [/b][br]Een hoogtelijn in een driehoek is een (...) uit een (...) op de drager van de (...) zijde.
6 Hoe teken ik de zwaartelijnen in een driehoek?
Als je niet meer weet hoe je de zwaartelijnen in een driehoek moet tekenen, bekijk je de onderstaande applet. Onderaan kan je met de pijltjes de verschillende stappen doornemen.
7 Hoe teken ik de hoogtelijnen in een driehoek?
Als je niet meer weet hoe je de hoogtelijnen in een driehoek moet tekenen, bekijk je de onderstaande applet. Onderaan kan je met de pijltjes de verschillende stappen doornemen.
Middelloodlijnen in een driehoek
1 Middelloodlijnen in een driehoek - definitie
In de bovenstaande driehoek ABC zijn de 3 middelloodlijnen getekend.
Bekijk de 3 middelloodlijnen van de driehoek ABC en versleep de hoekpunten van de driehoek. Duid alle juiste antwoorden aan:
[b]Nu heb je zelf de definitie van een middelloodlijn in een driehoek ontdekt, vul de definitie verder aan:[/b][br]Een middelloodlijn in een driehoek is een rechte die door het (....) van een zijde gaat en (...) staat op de drager van die zijde.
2 Middelloodlijnen in een driehoek - kenmerk
Bekijk de tekening hieronder en los onderstaande vragen op:
Het punt J ligt op de middelloodlijn van de zijde [AB], versleep het punt J over deze middelloodlijn f.[br]Wat valt er op tussen de afstand van [BJ] en [AJ]?
[b]Zo komen we tot het kenmerk van de middelloodlijn. Vul dit kenmerk zelf aan:[/b][br]De afstanden van een punt van een middelloodlijn van een lijnstuk tot de grenspunten van het lijnstuk zijn (...)
We hebben dit kenmerk toegepast op de middelloodlijn van een lijnstuk, dit was herhaling. [br][br]Nu gaan we dit kenmerk toepassen op de middelloodlijn van de zijde van een driehoek en vervolgens gaan we dit kenmerk ook bewijzen.
3 Middelloodlijnen in een driehoek - bewijs kenmerk
We gaan dit kenmerk bewijzen voor het punt J op de middelloodlijn f. [br][br]Met behulp van de pijltjes onderaan de tekening, kan je het gegeven en te bewijzen van dit kenmerk vinden.[br]Probeer steeds zelf na te denken (en kijk goed naar de tekening) voordat je verder gaat.[br][br]Los onderstaande vragen op nadat je de applet hieronder hebt doorgenomen.
Om het bewijs verder af te maken, zullen we moeten aantonen dat twee driehoeken congruent zijn. Vervolgens kunnen we dan aantonen dat de afstand tussen B en J gelijk is aan de afstand tussen A en J.[br][br]In welke 2 driehoeken kunnen we de congruentie aantonen?
Nu weten we al in welke twee driehoeken we de congruentie moeten bewijzen, welk congruentiekenmerk kunnen we hiervoor gebruiken?
Probeer dit bewijs zelf eerst op te schrijven en bekijk vervolgens de onderstaande applet.[br][br]Onderaan de applet kan je met behulp van de pijltjes de verschillende stappen bekijken.
We hebben dit nu bekeken voor de middelloodlijn van één zijde van de driehoek, maar in de volgende tekening zie je dat dit kenmerk voor de middelloodlijn van elke zijde geldt. [br][br]Vink het eerste vakje aan, beweeg het punt op de middelloodlijn f en kijk wat er met de afstand tussen de hoekpunten en het punt op de middelloodlijn gebeurt. Je zal zien dat deze afstand ook steeds hetzelfde blijft. [br]Doe hetzelfde voor de middelloodlijn h en g.
4 Middelloodlijn - Hoe teken ik de middelloodlijnen in een driehoek?
Via de volgende applet kan je zien hoe je de middelloodlijn in een driehoek moet tekenen, je zal merken dat dit lijkt op het tekenen van de middelloodlijn van een lijnstuk (zie herhaling). Met behulp van de pijltjes onderaan de tekening kan je de verschillende stappen zien.[br][br]Bij het tekenen van de middelloodlijn in een driehoek moeten we dus rekening houden met de definitie. Deze zegt dat de middelloodlijn door het [b]midden [/b]van een zijde moet gaan en dat deze [b]loodrecht [/b]moet staan op de drager van deze zijde. [br][br]
Bissectrices in een driehoek
1 Bissectrices in een driehoek - definitie
In de bovenstaande driehoek ABC zijn de 3 bissectrices getekend.
Bekijk de 3 bissectrices van de driehoek ABC en versleep de hoekpunten van de driehoek. Duid alle juiste antwoorden aan:[br]
[b]Nu heb je zelf de definitie van een bissectrice in een driehoek ontdekt, vul de definitie verder aan:[/b][br]Een bissectrice in een driehoek is een rechte die door een (...) gaat en de bijhorende hoek in twee (...) hoeken verdeelt.
2 Bissectrices in een driehoek - kenmerk
Bekijk de tekening hieronder en los onderstaande vragen op:[br]
Het punt D ligt op de bissectrice h, versleep het punt D over deze bissectrice h. [br][br]Wat valt er op tussen de afstand van [DE] en [DF]?
[b]Zo komen we tot het kenmerk van de bissectrice. Vul dit kenmerk verder aan:[br][/b]Een punt van de bissectrice van een hoek ligt op (...) afstand van de benen van de hoek.
We hebben dit kenmerk toegepast op de bissectrice van een hoek, dit was herhaling.[br][br]Nu gaan we dit kenmerk toepassen op de bissectrices in een driehoek en vervolgens gaan we dit kenmerk ook bewijzen.
3 Bissectrices in een driehoek - bewijs kenmerk
We gaan dit kenmerk bewijzen voor de bissectrice h van de hoek A in de driehoek ABC.[br][br]Met behulp van de pijltjes onderaan de tekening, kan je het gegeven en te bewijzen van dit kenmerk vinden. Om jullie op weg te helpen om het vervolg van het bewijs te vinden, zal je de eerste stap van het bewijs al kunnen zien. [br]Probeer steeds zelf na te denken (en kijk goed naar de tekening) voordat je verder gaat.[br][br]Los onderstaande vragen op nadat je de applet hieronder hebt doorgenomen.
Om het bewijs verder af te maken, zullen we moeten aantonen dat twee driehoeken congruent zijn. Vervolgens kunnen we dan aantonen dat de afstand tussen E en D gelijk is aan de afstand tussen D en O. [br][br]In welke twee driehoeken kunnen we de congruentie aantonen?
Nu weten we al in welke twee driehoeken we de congruentie moeten bewijzen, welk congruentiekenmerk kunnen we hiervoor gebruiken?
Probeer dit bewijs zelf eerst op te schrijven en bekijk vervolgens de onderstaande applet. [br][br]Onderaan de applet kan je met behulp van de pijltjes de verschillende stappen bekijken.
We hebben dit nu aangetoond voor een punt op de bissectrice van één hoek van de driehoek, maar in de volgende tekening zie je dat dit kenmerk voor elke bissectrice van een hoek van de driehoek geldt.[br][br]Vink het eerste vakje aan, beweeg het punt G op de bissectrice i en kijk wat er met de afstand tussen de punten op de benen van de hoek (J en K) en het punt op de bissectrice (G) gebeurt.[br]Je zal zien dat deze afstand steeds hetzelfde blijft.[br][br]Doe hetzelfde voor de bissectrice g en de bissectrice k.
4 Bissectrice - Hoe teken ik een bissectrice?
Via de volgende applet kan je zien hoe je de bissectrices in een driehoek moet tekenen, je zal merken dat dit lijkt op het tekenen van een bissectrice van een hoek (zie herhaling). Met behulp van de pijltjes onderaan de tekening kan je de verschillende stappen zien.[br][br]Bij het tekenen van de bissectrices in een driehoek moeten we dus rekening houden met de definitie. Deze zegt dat de bissectrice door een [b]hoekpunt[/b] gaat en de bijhorende hoek in twee [b]even grote hoeken[/b] verdeelt.
Oefeningen
Oefening 1
Bekijk de onderstaande tekening en los de vragen op.
a) Welke merkwaardige lijn is de rechte n?
b) Welke merkwaardige lijn is de rechte i?
c) Welke merkwaardige lijn is de rechte f?
d) Welke merkwaardige lijn is de rechte g?
Oefening 2
Bekijk onderstaande tekening.
Op de tekening zie je de middelloodlijn p en m.[br][br]Wat weet je over de afstand |AZ|, |BZ| en |CZ|? (tip: denk aan het kenmerk dat we gezien hebben, eventueel kan je de aanvinkvakjes gebruiken als je het antwoord niet weet.)
Oefening 3
Bekijk de onderstaande tekening en los de vragen op. [br][br]Per vraag kan je het vakje aanvinken zodat je de lijnstukken of driehoeken waarover gesproken wordt ook kan zien. (Vink steeds alleen het vakje aan bij de vraag die je oplost).
a) [HA] is een (...) van [math]\bigtriangleup AGF[/math].
b) Welk lijnstuk is een bissectrice van [math]\bigtriangleup FAD[/math]?
c) [AD] is een zwaartelijn van [math]\bigtriangleup\left(...\right)[/math] en [math]\bigtriangleup\left(...\right)[/math]
d) [AE] is een (...) in [math]\bigtriangleup HFD[/math].
e) [AG] is een (...) in [math]\bigtriangleup HAF[/math].
f) Welk lijnstuk is een hoogtelijn in [math]\bigtriangleup AFC[/math]?
g) [AE] is tegelijkertijd hoogtelijn, bissectrice, zwaartelijn en middelloodlijn in [math]\bigtriangleup\left(...\right)[/math]?