Ähnlich wie für natürliche oder reelle Zahlen, gibt es für Vektoren Rechengesetzte, die man sich zu Nutze machen kann bzw. berücksichtigen muss, wenn man mit Vektoren arbeitet.
Für die Vektoren[math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{c}[/math] gilt:[br][br][math]\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}[/math] ([b]Kommutativgesetz[/b])[br][br][math]\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}[/math] ([b]Assoziativgesetz[/b])
[u]Achtung: [/u]Genauso wie bei reellen Zahlen gelten diese Gesetze [u]nicht[/u] für die [b]Subtraktion[/b]. Um die Gesetze auch auf Subtraktionsterme anzuwenden, kann man über den Gegenvektor gehen. [br]Beispiel:[br][math]\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+\left(-\vec{b}\right)=\left(-\vec{b}\right)+\vec{a}[/math]
Für die Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] sowie für die reellen Zahlen r und s gilt:[br][br][math]r\cdot\left(s\cdot\vec{a}\right)=\left(r\cdot s\right)\cdot\vec{a}[/math] ([b]Assoziativgesetz[/b])[br][br][math]r\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=r\cdot\vec{a}+r\cdot\vec{b}[/math] und [math]\left(r+s\right)\cdot\vec{a}=r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{a}[/math] ([b]Distributivgesetze[/b])
In Folgendem wird beispielhaft anhand einer Rechnung das erste Distributivgesetz nachvollzogen:[br][br][math]r\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=2\cdot\left(\left(\begin{matrix}2\\-3\\1\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}4\\1\\5\end{matrix}\right)\right)=2\cdot\left(\begin{matrix}2+4\\-3+1\\1+5\end{matrix}\right)=2\cdot\left(\begin{matrix}6\\-2\\6\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\cdot6\\2\cdot\left(-2\right)\\2\cdot6\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-4\\12\end{matrix}\right)[/math][br][math]r\cdot\vec{a}+r\cdot\vec{b}=2\cdot\left(\begin{matrix}2\\-3\\1\end{matrix}\right)+2\cdot\left(\begin{matrix}4\\1\\5\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\\2\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}8\\2\\10\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-4\\12\end{matrix}\right)[/math][br][br]Analog können die anderen Gesetze nachvollzogen werden.