Se denominan SECCIÓN CÓNICA a la curva formada por la intersección de plano con un cono.

[br]Un CONO es aquel que se puede generar al girar una recta s con respecto a otra no paralela r (EJE DE ROTACIÓN), y cuyo VÉRTICE es [math]P_0=P_0(x_0,y_0,z_0)=r\cap s[/math].[br]Si [math]\vec{v}=(a,b,c)[/math] es el vector director de r tal que [math]|\vec{v}|=1[/math] y [math]\theta=\angle\left(r,s\right);0<\theta<90^\circ[/math].[br]Un punto [math]P=P(x,y,z)[/math] pertenece al CONO si cumple:[br][math]\left(\vec{P_0P}\bullet\vec{v}\right)^2=\left(\left|\vec{P_0P}\right|\cdot\left|\vec{v}\right|\cdot cos\left(\theta\right)\right)^2[/math][br]Que equivale a la ecuación:[br][math]\left(a\cdot\left(x-x_0\right)+b\cdot\left(y-y_0\right)+c\cdot\left(x-x_0\right)\right)^2=\left(\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(x-x_0\right)^2}\cdot\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot cos\left(\theta\right)\right)^2[/math][br]Desarrollando, esta expresión y teniendo en cuenta que [math]|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1[/math], su ecuación implícita será:[br][math]F\left(x,y,z\right):\left(cos^2\left(\theta\right)-a^2\right)\cdot\left(x-x_0\right)^2+\left(cos^2\left(\theta\right)-b^2\right)\cdot\left(y-y_0\right)^2+\left(cos^2\left(\theta\right)-c^2\right)\cdot\left(z-z_0\right)^2[/math][br][math]-2\cdot\left(a\cdot b\cdot\left(x-x_0\right)\cdot\left(y-y_0\right)+a\cdot c\cdot\left(x-x_0\right)\cdot\left(z-z_0\right)+b\cdot c\cdot\left(y-y_0\right)\cdot\left(z-z_0\right)\right)=0[/math]

Si [math]P_0=(0,0,0)[/math] y [math]\vec{v}=(0,0,1)[/math], dividiendo por [math]cos^2(\theta)[/math], queda la ecuación:[br][math]F\left(x,y,z\right)=x^2+y^2-tan^2\left(\theta\right)\cdot z^2=0[/math]

Para entender mejor las secciones cónicas, veamos una cónica particular:[br]Tomemos el cono de vértice [math]P_0=(0,0,z_0)[/math], el vector director del eje del cono [math]\vec{v}=\left(0,cos\left(\alpha\right),sen\left(\alpha\right)\right)[/math], siendo [math]\alpha[/math] el ángulo entre el eje del cono y el plano [math]\pi:z=0[/math].[br]La intersección del cono y del plano vendrá dada por la ecuaciones:[br][math]\left(cos\left(\theta\right)\right)^2\cdot x^2+\left(\left(cos\left(\theta\right)\right)^2-\left(cos\left(\alpha\right)\right)^2\right)\cdot y^2-2\cdot cos\left(\alpha\right)\cdot sen\left(\alpha\right)\cdot\left(z-z_0\right)\cdot y+\left(\left(cos\left(\theta\right)\right)^2-\left(sen\left(\alpha\right)\right)^2\right)\cdot\left(z-z_0\right)^2=0[/math][br][math]z=0[/math][br]Resultando la ecuación de la CÓNICA:[br][math]\left(cos\left(\theta\right)\right)^2\cdot x^2+\left(\left(cos\left(\theta\right)\right)^2-\left(cos\left(\alpha\right)\right)^2\right)\cdot y^2+2\cdot cos\left(\alpha\right)\cdot sen\left(\alpha\right)\cdot z_0\cdot y+\left(\left(cos\left(\theta\right)\right)^2-\left(sen\left(\alpha\right)\right)^2\right)\cdot\left(z_0\right)^2=0[/math][br]Que denominando:[br][math]A=\left(cos\left(\theta\right)\right)^2;B=\left(\left(cos\left(\theta\right)\right)^2-\left(cos\left(\alpha\right)\right)^2\right);C=2\cdot cos\left(\alpha\right)\cdot sen\left(\alpha\right)\cdot z_0;D=\left(\left(cos\left(\theta\right)\right)^2-\left(sen\left(\alpha\right)\right)^2\right)\cdot\left(z_0\right)^2[/math][br]La ecuación de la cónica queda como:[br][math]A\cdot x^2+B\cdot y^2+C\cdot y+D=0[/math]

Como [math]0<\alpha<90^{\circ}[/math] y [math]0<\theta<90^\circ[/math], A>0, y por tanto:[br]1.- Si [math]\alpha>\theta\Rightarrow B>0\Rightarrow[/math] la cónica es una ELIPSE.[br]2.- Si [math]\alpha=\theta\Rightarrow B=0\Rightarrow[/math] la cónica es una PARÁBOLA.[br]3.-Si [math]\alpha<\theta\Rightarrow B<0\Rightarrow[/math]la cónica es una HIPÉRBOLA.[br]En el caso particular de que [math]z_0=0[/math], tenemos una CÓNICA DEGENERADA, cuyas posibles soluciones serían:[br]1.- Si [math]\theta>\alpha\Rightarrow[/math] La única solución es el punto [math]P_0=(0,0,0)[/math].[br]2.- Si [math]\theta=\alpha\Rightarrow[/math] La solución es la recta que contiene al eje OY.[br]3.- Si [math]\theta<\alpha\Rightarrow[/math] La solución son dos rectas no paralelas que pasan por el origen de coordenadas y que están sobre el plano [math]z=0[/math].