В треугольнике АВС АС=СВ=8, угол АСВ равен 130 градусов. Точка М удалена от плоскости АВС на расстояние , равное 12, и находится на равном расстоянии от вершин треугольника АВС. Найдите угол между МА и плоскостью АВС.

Для того, чтобы найти расположение точки М, необходимо начертить описанную окружность и тогда расстояние от центра окружности до вершин треугольника (проекции наклонных) будет равным. Отрезки MA, MC, MB тоже будут равны между собой, а соответственно и расстояние между точкой М и вершинами треугольника равны.[br][br]Треугольник ABC является равнобедренным, соответственно [math]\angle CAB=\angle ABC=\frac{\left(180^\circ-130^\circ\right)}{2}=25^\circ[/math][br][br]Находим радиус окружности:[br]Для этого вычисляем длину стороны AB:[br][math]AB=cos25^\circ\ast8\ast2\approx14.50[/math][br]Теперь воспользуемся формулой для нахождения радиуса описаной окружности для равнобедренного треугольника по трём сторонам:[br][math]R=\frac{BC^2}{\sqrt{4\ast BC^2-AB^2}}[/math][br][math]R=\frac{8^2}{\sqrt{4\ast8^2-14.5^2}}=\frac{64}{\sqrt{256-210.25}}\approx9.462[/math][br][br]Находим угол:[br][math]tan\angle MAD=\frac{12}{9.462}[/math][br][math]\angle MAD=arctan\left(\frac{12}{9.462}\right)\approx51.74^\circ[/math][br][br]Ответ: угол между МА и плоскостью АВС равен [math]51.74^\circ[/math].[br]