[br]Niech [math]S[/math] będzie krzywą opisaną równaniem [math]x^2+4y^2=4[/math]. Niech [math]A[/math] będzie dowolnym punktem leżącym na krzywej [math]S[/math], zaś [math]k[/math] [math]-[/math] styczną do krzywej [math]S[/math] w tym punkcie. Wyznaczymy punkty, w których styczna [math]k[/math] jest[br]a) równoległa do prostej [math]y=x[/math],[br]b) równoległa do osi [math]Ox[/math].[br][br][u]Ilustracja[/u].[br]Prześledź położenie stycznej [math]k[/math] zmieniając położenie punktu [math]A[/math]. Postaw hipotezę dotyczącą rozwiązania jednego z podpunktów.

[u]Rozwiązanie[/u].[br]Przypomnijmy, że współczynnik kierunkowy stycznej do krzywej w danym punkcie równy jest pochodnej funkcji uwikłanej przechodzącej przez ten punkt oraz fakt, iż dwie proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe. A zatem musimy zbadać, w jakim punkcie pochodna funkcji uwikłanej równa jest 1 lub 0. W tym celu rozwiązujemy odpowiednie układy równań (patrz wiersz 5 i 6).

[b]Odpowiedź. [/b][br]Ad. a) Styczna do krzywej [math]S[/math] jest równoległa do prostej [math]y=x[/math], gdy [math]A\in R_1=\left\{ \left(-4 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5} \right), \left(4 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}, -\frac{\sqrt{5}}{5} \right) \right\} [/math]. Równania tych stycznych znajdują się w wierszu [math]7[/math] i [math]8[/math].[br]Ad. b) Styczna do krzywej [math]S[/math] jest równoległa do osi [math]Ox[/math], gdy [math]A\in R_0=\{(0,1),(0,-1)\}[/math].[br]

Modyfikując powyższy aplet wyznacz punkty, w których styczna [math]k[/math] jest równoległa do prostej [math]y=2x[/math].