Funkcje dwóch zmiennych - wprowadzenie
[color=#c51414][b]Laboratorium matematyczne z GeoGebrą[/b][/color] Skrypt dla studentów uczelni technicznych [b]Joanna Rzepecka, Elżbieta Kotlicka-Dwurznik Politechnika Łódzka, Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki[/b] Projekt finansowany w ramach budżetu zadaniowego PŁ „Granty dydaktyczne PŁ” [url=https://port.edu.p.lodz.pl/course/view.php?id=41]Strona projektu na platformie Wikamp[/url] Łódź 2019
Table of Contents
- Dziedzina funkcji
- Przykład 1
- Przykład 2
- Przykład 3
- Przykład 4
- Zadanie 1
- Zadanie 2
- Zadanie 3
- Wykresy funkcji - szkicowanie
- Przykład 5
- Przykład 6
- Przykład 7
- Zbiór wartości funkcji
- Przykład 8
- Zadanie 1
- Ograniczanie zbioru wartości
- Poziomice funkcji
- Przykład 9
- Przykład 10
- Przykład 11
- Zadanie 1
- Zadanie 2
- Wycinanie i sklejanie
- Przykład 12
- Przykład 13
- Przykład 14
- Przykład 15
- Ścieżki na wykresie
- Przykład 16
- Przykład 17 a
- Przykład 17 b
- Przykład 18
- Zadanie 1
- Figury przestrzenne
- Przykład 19
- Przykład 20
- Przykład 21
- Zadanie 1
- Ciekawostki
- "Przeobrażanie" powierzchni
- Pochodne cząstkowe-w budowie
- Pochodne cząstkowe - interpretacja geometryczna
- Gradient
- Płaszczyzna styczna
Przykład 1
Działania na zbiorach.
Dane są zbiory: [math]A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x \cdot y\le 0\}[/math][math]B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:36-4x^2-9y^2\ge 0\}[/math][br]Przedstawimy ich graficzną reprezentację, a następnie wyznaczymy zbiory: [math]A\cup B[/math], [math]A\cap B[/math], [math]A'[/math] oraz [math]A\setminus B[/math].
[u]Rozwiązanie:[/u][br]Zauważmy, że rozważane nierówności są funkcjami zdaniowymi dwóch zmiennych i tak też są traktowane w GeoGebrze. Zbiór punktów, które spełniają funkcję zdaniową nazywamy jej wykresem. Aby otrzymać sumę zbiorów [math]A[/math] i [math]B[/math] wywołujemy alternatywę funkcji [math]a[/math] i [math]b[/math] (funkcja [math]c[/math]). Z kolei dla iloczynu wywołujemy koniunkcję (funkcja [math]d[/math]), a dla dopełnienia - negację (funkcja [math]e[/math]). Różnica zbiorów (funkcja [math]f[/math]) uzyskana została przez koniunkcję i negację.[br] [br][u]Uwaga.[/u][br]Funktory zdaniotwórcze koniunkcji, alternatywy i negacji dostępne są na klawiaturze (zakładka [math]\# \& \neg[/math]).[br]Poszczególne wykresy można ukrywać i odkrywać. Aby otrzymać np. zbiór [math]B\setminus A[/math] wystarczy krótko wpisać [math]b\wedge\neg a[/math].
Przykład 5
Zbiór [math]W=\{\;(x, y, f(x,y)): (x,y)\in D_f\;\}[/math] nazywamy [color=#cc0000]wykresem funkcji[/color] [math]f : D_f \to\mathbb{R}[/math] [color=#cc0000]dwóch zmiennych[/color].
Naszkicujemy wykres funkcji dwóch zmiennych określonej wzorem [math]f\left(x,y\right)=\tfrac{x^2}{4}+y^2-1[/math].[br][br][u]Rozwiązanie[/u]:[br]Jeśli do równania [math]z=\tfrac{x^2}{4}+y^2-1[/math] podstawimy: [br]1) [math]x=0[/math], to otrzymamy równanie paraboli [math]z=y^2-1[/math], [br]2) [math]y=0[/math], to otrzymamy równanie paraboli [math]z=\tfrac{x^2}{4}-1[/math],[br]3) [math]z=0[/math], to otrzymamy równanie elipsy [math]0=\tfrac{x^2}{4}+y^2-1[/math], a po przekształceniu [math]\tfrac{x^2}{4}+y^2=1[/math],[br]4) [math]z=2[/math], to otrzymamy równanie elipsy [math]2=\tfrac{x^2}{4}+y^2-1[/math], a po przekształceniu [math]\tfrac{x^2}{12}+\tfrac{y^2}{3}=1[/math].[br]Wystarczy teraz naszkicować wymienione krzywe w odpowiednich płaszczyznach jak na poniższym rysunku.
Ćwiczenie 1.
Korzystając z powyższego apletu naszkicuj wykres funkcji określonej wzorem [math]f\left(x,y\right)=\tfrac{x^2}{4}-y^2+2[/math].[br][br][br][u]Wskazówka[/u]: Tym razem wyznacz dodatkowe przecięcia płaszczyznami równoległymi do płaszczyzn [math]y=0[/math] oraz [math]x=0[/math].[br][br][u]Uwaga[/u]: W GeoGebrze płaszczyzny [math]x=a[/math] oraz [math]y=b[/math] wymagają w niektórych wersjach aplikacji dopisania [math]\ldots +0\cdot z\;\ldots[/math].
Przykład 8
Podaj zbiory wartości dla następujących funkcji. Dla ułatwienia możesz posłużyć się ich wykresami oraz przesuwaną za pomocą suwaka płaszczyzną równoległą do płaszczyzny [math]z=0[/math].[br][table][tr][td]a) [math]a(x,y)=3-(|x|-1)^2-(|y|-1)^2[/math] [/td][br][td]c) [math]c(x,y)=\frac{1}{x\cdot y}[/math] [/td][br][/tr][br][tr][br][td]b) [math]b(x,y)=\sin(x+y)+\sin(x-y)[/math][/td][br][td]d) [math]d(x,y)=2 \,e^{-x^2-y^2}[/math][/td][br][/tr][/table][br][u]Rozwiązanie[/u]:[br]a) [math](-\infty,3][/math] b) [math][-2,2][/math] c) [math]\mathbb{R}\setminus\{0\}[/math] d) [math](0,2][/math]
Przykład 9
Zbiór [math]\{(x,y)\in D_f: f(x,y)=h\}[/math] jest [color=#980000]poziomicą wykresu[/color] funkcji [math]f[/math] odpowiadającej wartości [math]h\in\mathbb{R}[/math].[br][br]Dla funkcji określonej wzorem [math]f\left(x,y\right)=(2x^2-4y^2) e^{-x^2-y^2+x}[/math] wyznaczymy kilkanaście poziomic. [br][br][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]Aby zobaczyć poziomice uruchom animację suwaka. Możesz zmieniać zakres wartości [math]h[/math] oraz krok.[br]Możesz też w menu kontekstowym krzywej b wyłączyć ślad i obejrzeć poziomicę dla wybranej przez siebie wartości.
[u]Ćwiczenie.[br][/u]a) Sprawdź dla których wartości [math]h[/math] otrzymamy zbiór pusty?[br]b) Jaki zbiór otrzymamy dla [math]h=0[/math]?
Przykład 12
Dana jest funkcja określona wzorem [math]f(x,y)=2-x-y[/math] na zbiorze [math]\mathbb{R}^2[/math]. [br]Zdefiniujemy nową funkcję określoną tym samym wzorem taką, że jej wykres będzie się mieścił w pierwszym oktancie układu współrzędnych.[br][br][u]Rozwiązanie[/u]:
Ćwiczenie 1.
Jakie pole powierzchni ma trójkąt [math]ABC[/math], gdzie [math]A[/math], [math]B[/math] i [math]C[/math] są punktami przecięcia płaszczyzny [math]z=2-x-y[/math] z osiami układu?
Ćwiczenie 2.
Jakie będzie pole trójkąta ABC, gdy rozważymy funkcję [math]f(x,y)=2-2x-y[/math]?
Przykład 16
Poniższy aplet przedstawia wykres funkcji [math]f[/math] dwóch zmiennych w zależności od wartości parametru [math]d[/math] zmieniającego się od [math]0^\circ[/math] do [math]360^\circ[/math]. Wyznaczymy krzywą przecięcia wykresu tej funkcji z płaszczyzną o równaniu [math]x=y[/math].
Ćwiczenie.
[b]a)[/b] Zbadaj dla jakich wartości parametru [math]d[/math] krzywa ta jest prostą. Wynik potwierdź rachunkowo.[br][b]b)[/b] Wprowadź krzywą przecięcia w sposób parametryczny.[br][br][u]Wskazówka do punktu a)[/u]. Skorzystaj z poleceń przekształcających funkcje trygonometryczne:[br][i]RozwinięcieTryg(...)[/i] oraz [i]UprośćTryg(...)[/i]. Pierwsze z nich zastosuj do wyrażenia [math]f(x,x)[/math] (uwzględniając równanie płaszczyzny).[br][u]Wskazówka do punktu b)[/u]. Zastosuj polecenie [i]Krzywa([math]u[/math],[math]u[/math],[math]f(u,u)[/math],[math]u[/math],[math]-10[/math],[math]10[/math])[/i] lub prostsze [math](x,x,f(x,x))[/math].
Przykład 19
Wyznaczymy bryłę [math]V[/math] ograniczoną wykresami funkcji [math]f(x,y)=2x^2+y^2-1[/math] oraz [math]g(x,y)=1[/math].[br][br][u]Rozwiązanie[/u]: Na podstawie wykresów funkcji widzimy, że[center][math]V=\{(x,y,z): \; f(x,y)\le z\leq g(x,y)\}[/math].[/center]Ustalimy teraz do jakiego zbioru należy obciąć rozważane funkcje. Warunek [math]f(x,y)\le g(x,y)[/math] jest spełniony, gdy [math]2x^2+y^2-1\le1[/math], czyli na zbiorze ograniczonym elipsą o równaniu [math]x^2+\tfrac{y^2}{2}=1[/math].[br]Ukryj wykresy funkcji [math]f[/math] i [math]g[/math], a odkryj wykresy funkcji obciętych do zbioru [math]D[/math]. Za pomocą suwaka ustaw przeźroczystość wykresów na 1 (maksymalne pokrycie kolorem).
[u]Uwaga[/u]. Warunek opisujący zbiór D można również otrzymać wpisując w Widoku Algebry jedynie [math]f\le g[/math]. Odwołujemy się do niego poprzez przypisaną mu literę np. [math]a[/math] w instrukcjach typu [math]f,a[/math] gdy obcinamy funkcję [math]f[/math] do zbioru opisanego warunkiem [math]a[/math].
Ćwiczenie.
W podobny sposób, korzystając z powyższego apletu, wyznacz bryłę [math]V[/math] ograniczoną wykresami funkcji [math]f(x,y)=x^2+2y^2[/math] oraz [math]g(x,y)=y^2+1[/math].[br]
"Przeobrażanie" powierzchni
[size=100]Za pomocą liniowej kombinacji wypukłej dwóch funkcji można dokonać "przekształcenia wykresu" jednej z nich na wykres drugiej i odwrotnie.[/size]
Ćwiczenie.
Wzorując się na powyższym przykładzie:[br]a) Dokonaj całkowitego "spłaszczenia" wykresu funkcji [math]h(x,y)=x^2+y^2[/math].[br]b) Wytnij z paraboloidy i stożka (niekoniecznie obrotowych) płatki (określając odpowiednie funkcje dwu zmiennych na tym samym zbiorze) a następnie przekształć je na siebie.
Propozycja rozwiązania podpunktu b)
Pochodne cząstkowe - interpretacja geometryczna
Niech funkcja [math]f[/math] zmiennych [math]x[/math] i [math]y[/math] posiada pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie [math](x_0, y_0).[/math][br]Kąt nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przecięcia wykresu funkcji [math]f[/math] płaszczyzną [math]y=y_0[/math] w punkcie [math](x_0,y_0,f(x_0,y_0))[/math] do płaszczyzny [math]Oxy[/math] oznaczymy przez [math]\alpha_x,[/math] natomiast przez [math]\alpha_y[/math] - kąt nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej z przecięcia wykresu funkcji [math]f[/math] płaszczyzną [math]x=x_0[/math]. Wtedy zachodzą zależności[br][center][math]f_x'(x_0,y_0)=\tan\alpha_x,\qquad f_y'(x_0,y_0)=\tan\alpha_y.[/math][/center]