[justify][b][color=#ff0000]INTRODUÇÃO [br][/color][br]Agora que você realizou as atividades investigativas iniciais, passaremos a analisar com mais atenção as raízes de uma função polinomial do 2º grau. Nesta seção, aprenderemos como determinar se uma função quadrática possui duas raízes reais distintas, duas raízes reais iguais ou não possui raízes reais.[br][br]Para realizar essa análise, utilizaremos a fórmula quadrática, tradicionalmente empregada na resolução de equações do segundo grau. Inicialmente, serão apresentados os principais conceitos teóricos relacionados ao cálculo das raízes de uma função quadrática.[br][br]Nas subseções seguintes, analisaremos diferentes funções e investigaremos, por meio de cálculos algébricos, a quantidade e o tipo de raízes de cada uma delas.[/b][/justify]

[b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]FÓRMULA QUADRÁTICA[br][/color][/b][justify][br][b]A fórmula quadrática é uma ferramenta fundamental para resolver equações quadráticas, permitindo encontrar as raízes de qualquer função polinomial do 2° grau da forma [/b][math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][b]. Ela é especialmente importante porque fornece uma solução direta e precisa, seja para raízes reais distintas, iguais ou para identificar quando não existem raízes reais. Com ela, podemos analisar funções quadráticas de forma precisa, verificar o comportamento de seus gráficos e aplicar o conhecimento em diversas áreas da matemática e da física. [/b][/justify][justify][b]Considere, agora, uma função polinomial do 2° grau (função quadrática) da forma:[br][br][/b][/justify]                [math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][b][br][br]com [/b][math]a[/math][b], [/b][math]b[/math][b] e [/b][math]c[/math][math]\in[/math][math]\mathbb{R}[/math][b] e [/b][math]a\ne0[/math][b].[br][br]As raízes dessa função podem ser determinadas por meio da fórmula quadrática, dada por:[br][br][br] [/b][math]x=\frac{\left(-b\pm\sqrt{\Delta}\right)}{2a}[/math][b][br][br][br]em que[br] [br] [br] [/b][math]\Delta=b^{^2}-4\cdot a\cdot c[/math][br][br][justify][b]e é chamado de discriminante (conhecido por "DELTA") da equação do segundo grau. O valor do discriminante permite determinar a quantidade e o tipo de raízes da função quadrática.[/b][/justify]

[justify][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]INTERPRETAÇÃO ANALÍTICA/GEOMÉTRICA DO DISCRIMINANTE[/b][br][/color][br][b]Agora, vamos aprender a analisar se uma função quadrática possui duas raízes reais distintas, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real, apenas calculando o discriminante (delta) de algumas funções quadráticas. [/b][/justify]

[left][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]Para iniciar o estudo, considere a seguinte função polinomial do 2º grau:[br][br] [br] [/b][math]f\left(x\right)=1x^2+2x-3[/math][b][br][br] [br]Logo abaixo, está representado o gráfico dessa função.[/b][/left]

[justify][color=#ff0000][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]CASO 01 - DISCRIMINANTE MAIOR QUE ZERO[/b][/color][br][br][b]Observando o gráfico acima, vemos que a função intercepta o eixo [/b][math]x[/math][b] nos pontos [/b][math]\left(-3,0\right)[/math][b] e [/b][math]\left(1,0\right)[/math][b], o que indica que ela possui duas raízes reais distintas; isso significa que o discriminante [/b][math]\left(\Delta\right)[/math][b] é maior que zero, e podemos confirmar isso de forma analítica calculando [/b][math]\left(\Delta\right)[/math][b] e verificando que o resultado é realmente positivo. Vamos calcular?[/b][/justify]

[b]Calculando o discriminante ([/b][math]delta=\Delta[/math][b]) da função [/b][math]f\left(x\right)=1x^2+2x-3[/math][b], temos que:[br][br][br] [/b][math]a=1[/math][math]b=2[/math][math]c=-3[/math][b][br][br][br] (Fórmula do discriminante) [br][br][br] [/b][math]\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c[/math][b][br][br][br] Fazendo as devidas substituições, teremos:[br][br] [/b][math]\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c[/math][math]\Delta=\left(2\right)^2-4\cdot\left(1\right)\cdot\left(-3\right)[/math][math]\Delta=4+4\cdot1\cdot3[/math][math]\Delta=4+12[/math][math]\Delta=16>0[/math][justify][b] Como observado acima, encontramos que [/b][math]\Delta>0[/math][b], desse modo, podemos afirmar que a função [/b][math]f\left(x\right)=1x^2+2x-3[/math][b]possui duas raízes reais e distintas. [/b][/justify]

[justify][/justify][justify][b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]CASO 02 - DISCRIMINANTE IGUAL A ZERO[/color][/b][br] [br][b]Agora, vamos analisar o caso em que o discriminante [/b][math]\left(\Delta\right)[/math][b]é igual a zero. Nesse caso, o gráfico da função quadrática toca o eixo [/b][math]x[/math][b] em apenas um ponto, e dizemos que a função possui duas raízes reais iguais. Assim, ao calcular [/b][math]\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c[/math][b], verificaremos que seu valor é exatamente zero. Antes de fazermos o cálculo, vamos observar o gráfico da função [/b][math]f\left(x\right)=1x^2-4x+4[/math][b] e analisar graficamente, para depois confirmar de forma analítica. Vamos lá?[/b][/justify]

[justify][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br][b]Observando o gráfico acima, percebemos que a parábola toca o eixo [/b][math]x[/math][b] em apenas um ponto [/b][math]\left(2,0\right)[/math][b], o que indica que, ao calcular o discriminante [/b][math]\left(\Delta\right)[/math][b], encontraremos o valor zero [/b][math]\left(0\right)[/math][b]. Dessa forma, podemos concluir que a função possui duas raízes reais iguais. [br][br]Agora que analisamos o gráfico, vamos demonstrar de forma analítica que delta [/b][math]\left(\Delta\right)[/math][b] é realmente zero. De modo análogo ao caso anterior, teremos:[/b][/justify][justify][/justify]

[b]Calculando o discriminante ([/b][math]delta=\Delta[/math][b]) da função [/b][math]f\left(x\right)=1x^2-4x+4[/math][b], temos que:[br][br][br] [/b][math]a=1[/math][math]b=-4[/math][math]c=4[/math][b][br][br][br] (Fórmula do discriminante) [br][br][br] [/b][math]\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c[/math][b][br][br][br] Fazendo as devidas substituições, teremos:[br][br][br] [/b][math]\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c[/math][math]\Delta=\left(-4\right)^2-4\cdot\left(1\right)\cdot\left(4\right)[/math][math]\Delta=16-4\cdot1\cdot4[/math][math]\Delta=16-16[/math][math]\Delta=0[/math][justify][/justify][justify][b]Como observado acima, encontramos que [/b][math]\Delta=0[/math][b], desse modo, podemos afirmar que a função [/b][math]f\left(x\right)=1x^2+2x-3[/math][b] possui duas raízes reais e iguais. [br][br][br]Por fim, vamos analisar o caso em que o discriminante [/b][math]\left(\Delta\right)[/math][b] é menor que zero. Você consegue antecipar o que isso significa para a função e suas raízes?[/b][/justify]

[justify][b][color=#ff0000][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]CASO 03 - DISCRIMINANTE MENOR QUE ZERO[/color][br][/b][br][b]Agora, vamos analisar o caso em que o discriminante [/b][math]\left(\Delta\right)[/math][b] é negativo, ou seja, menor que zero. Nesse caso, a parábola não toca o eixo x em nenhum ponto, o que nos permite concluir que a função quadrática não possui raízes reais. Observe o gráfico de uma função que segue esse princípio e faça suas próprias análises quanto a este caso.[/b][/justify]

[justify][b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]Observando o gráfico acima, percebemos que a parábola não toca o eixo [/b][math]x[/math][b] em nenhum ponto [/b][math]\left(x,y\right)[/math][b], o que indica que, ao calcular o discriminante [/b][math]\left(\Delta\right)[/math][b], encontraremos um valor menor que zero [/b][math]\left(\Delta<0\right)[/math][b]. Dessa forma, podemos concluir que a função quadrática não possui raízes reais.[/b][/justify][justify][b]Agora que analisamos o gráfico, vamos demonstrar de forma analítica que delta [/b][math]\left(\Delta\right)[/math][b] é realmente menor que zero. De modo análogo aos casos anteriores, teremos:[/b][/justify][br]

[b]Calculando o discriminante ([/b][math]delta=\Delta[/math][b]) da função [/b][math]f\left(x\right)=2x^2-5x+4[/math][b], temos que:[br][br][br] [/b][math]a=2[/math][math]b=-5[/math][math]c=4[/math][b][br][br][br] (Fórmula do discriminante) [br][br][br] [/b][math]\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c[/math][b][br][br][br] Fazendo as devidas substituições, teremos:[br][br][br] [/b][math]\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c[/math][math]\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot\left(2\right)\cdot\left(4\right)[/math][math]\Delta=25-4\cdot2\cdot4[/math][math]\Delta=25-32[/math][math]\Delta=-7<0[/math][justify][b][br]Como observado acima, encontramos que [/b][math]\Delta<0[/math][b], desse modo, podemos afirmar que a função [/b][math]f\left(x\right)=2x^2-5x+4[/math][b] não possui raízes reais.[br][br][br][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][/b][/justify]

[justify][b][color=#ff0000]FAÇA EM SEU CADERNO[br][/color][color=#0000ff][br]Após as análises realizadas, construa uma tabela que relacione o discriminante [/color][math](Δ)[/math][color=#0000ff] de uma equação do segundo grau com a existência e a quantidade de suas raízes reais.[br][/color][/b][/justify]

[b][color=#ff0000][b][b][b][color=#ff0000]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/color][/b][/b][/b][br][br][br]ATIVIDADES PARA PRATICAR A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS VIA FÓRMULA QUADRÁTICA[br][/color][justify][color=#ff0000][br][/color]A seguir, são propostas atividades graduadas que têm como objetivo desenvolver e consolidar a aplicação da fórmula quadrática na resolução de diferentes tipos de equações quadráticas, favorecendo o raciocínio algébrico e a interpretação dos resultados obtidos.[/justify][/b]

[b][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br]Fala, estudante! Tudo bem com você? Espero que as atividades estejam indo bem até aqui.[/b][justify][b][br]Nesta próxima etapa, vamos dar um passo importante: a análise gráfica das raízes de uma função quadrática. A ideia é entender, de forma visual, o que realmente significa uma raiz no gráfico de uma parábola — e como isso se conecta com o que já aprendemos até agora.[br][br]Com isso, você vai conseguir enxergar a Matemática de um jeito mais claro e intuitivo.[br][br]Bons estudos![/b][br][/justify][b][color=#ff0000][b]____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[/b][/color][/b][br][br][br][br][br][br][br][img]https://openaiassets.blob.core.windows.net/$web/chatgpt/filled-plus-icon.png[/img][br][br]