[size=150][u]Funciones [/u][math]f:D\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}[/math][b].[br][/b][/size][br]En esta sección vamos a considerar funciones [br][br][math]f:D\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}[/math] [br][br]de variables [math](x_{1},\ldots,x_{n})\in D\subset \mathbb{R}^{n}[/math], donde [math]D[/math] es el dominio, pero que toman valores en [math]\mathbb{R}^{m}[/math], para algún [math]m\geq 1[/math]. Podemos escribir por lo tanto,[br][br][math][br]f(\underbrace{x_{1},\ldots,x_{n}}_{\in D\subset \mathbb{R}^{n}})=(\underbrace{f_{1}(x_{1},\ldots,x_{n})}_{\in \mathbb{R}},\underbrace{f_{2}(x_{1},\ldots,x_{n})}_{\in \mathbb{R}},\ldots,\underbrace{f_{m}(x_{1},\ldots,x_{n})}_{\in \mathbb{R}})\in \mathbb{R}^{m}.[br][/math][br][br]La función [math]f(x_{1},\ldots,x_{n})[/math] se especifica entonces dando [math]m[/math]-funciones reales de varias variables, [math]f_{1}(x_{1},\ldots,x_{n}),\ldots,f_{m}(x_{1},\ldots,x_{n})[/math], funciones como las que se han considerando hasta ahora en el curso.[br][br]¿Porqué estudiar estas funciones? [br][br]Este tipo de funciones aparace comunmente para modelar campos en física, por ejemplo el campo eléctrico o el campo magnético de una cierta configuración de cargas o corrientes. En otro contexto también modelan el campo de velocidades de un fluido o gas. Hay otros contextos diferentes donde también aparecen de forma natural. Por ejemplo un cambio de coordenadas en el plano o el espacio se especifica por una función de este tipo. Por último, una curva en el espacio, como las que se estudiaron anteriormente son tabmién ejemplos![br][br][color=#ff7700][b]Ejemplo.[/b] [/color]El agua en un río, el Río Uruguay por ejemplo, se desplaza con velocidades que dependen del punto. Por ejemplo, la velocidad en el centro del río, cerca del caudal principal, es generalmente mayor a la velocidad cerca de la orilla. Pero también la dirección de circulación puede ser diferente en el centro o en la orilla, dependiendo del contorno de la rivera o de la geografía general. Tenemos por lo tanto una función,[br][br][math]\vec{V}(x,y):[/math]Río[math]\subset\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2}[/math],[br][br]donde [math](x,y)[/math] especifica los puntos sobre la superficie del río que pensamos como si fuera una región del plano [math]\mathbb{R}^{2}[/math] y donde [br][br][math]\vec{V}(x,y)=(V_{x}(x,y),V_{y}(x,y))=V_{x}(x,y)\vec{i}+V_{y}(x,y)\vec{j}[/math],[br][br]especifica las componentes según [math]x[/math] y según [math]y[/math] de la velocidad. [br][br]En este caso [math]f=\vec{V}=(V_{x},V_{y})=(f_{1},f_{2})[/math].[br][br][br]Es importante entender que si bien estas funciones quedan especificadas por [math]m[/math]-funciones reales, en las aplicaciones es importante considerarlas juntas, como un vector [math](f_{1},\ldots,f_{m})[/math]. Por ejemplo, es de sentido comun pensar que no sea usualmente muy útil estudiar las componentes [math]V_x[/math] y [math]V_y[/math] de la velocidad de un fluido separadamente, sin tener en cuenta la relación de una con la otra. El movimiento del fluido lo dicta el vector velocidad. [br][br][b][color=#ff7700]Ejemplo.[/color][/b] Campo eléctrico de una carga puntual.[br][br][color=#ff7700][b]Ejemplo.[/b] [/color]Cambio de coordenadas.[br][br][br]Una función [math]f=(f_{1},\ldots,f_{n}):D\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}[/math] se dice continua sii cada una de las [math]f_{i}[/math] son continuas. [br][br]Una función [math]f=(f_{1},\ldots,f_{n}):D\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}[/math], donde el dominio [math]D[/math] es abierto, se dice [math]C^{k}[/math] sii cada una de las [math]f_{i}[/math] son [math]C^{k}[/math]. [br][br]Una función [math]f=(f_{1},\ldots,f_{n}):D\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}[/math], donde el dominio [math]D[/math] es abierto, es diferenciables en [math]a=(a_{1},\ldots,a_{n})\in D[/math] sii cada una de las [math]f_{i}[/math] son diferenciables en [math]a[/math]. [br][br]Prestemos atención a las funciones [math]f=(f_{1},\ldots,f_{m})[/math] diferenciables en un punto [math]a=(a_{1},\ldots,a_{n})[/math]. Si [math]f=(f_{1},\ldots,f_{m})[/math] es diferenciable en [math]a[/math] entonces cada una de las [math]f_{i}[/math] son diferenciables en [math]a[/math] y por lo tanto tienen aproximaciones lineales en dicho punto. Recordemos la notación,[br][br][math][br]\begin{align}[br]& a=(a_{1},\ldots,a_{n}),\\[br]& x=(x_{1},\ldots,x_{n}),\\[br]& \Delta x = x-a = (x_{1}-a_{1},\ldots,x_{n}-a_{n}).[br]\end{align}[br][/math][br][br]Bajo esta notación, las aproximaciones lineales (desarrollos de Taylor a primer orden), quedan,[br][br][math][br]\begin{align}[br]& f_{1}(x)=f_{1}(a)+\langle \nabla f_{1}(a),\Delta x\rangle +R_{1}(x),\\[br]& \quad \vdots\\[br]& f_{m}(x)=f_{m}(a)+\langle \nabla f_{m}(a),\Delta x\rangle +R_{m}(x)[br]\end{align}[br][/math][br][br]que en notación matricial es,[br][br][math][br]\left([br]\begin{matrix}[br]f_{1}\\[br]\vdots\\[br]f_{m}[br]\end{matrix}[br]\right)[br]=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]\partial_{x_{1}}f_{1}(a)&\ldots&\partial_{x_{n}}f_{1}(a)\\[br]\vdots & &\vdots\\[br]\partial_{x_{1}}f_{m}(a)&\ldots&\partial_{x_{n}}f_{m}(a)[br]\end{matrix}[br]\right)[br]\left([br]\begin{matrix}[br]x_{1}-a_{1}\\[br]\vdots\\[br]x_{m}-a_{m}[br]\end{matrix}[br]\right)[br]+[br]\left([br]\begin{matrix}[br]R_{1}(x)\\[br]\vdots\\[br]R_{m}(x)[br]\end{matrix}[br]\right).[br][/math][br][br]La matriz [math]m\times n[/math] que caracteriza a la aproximación lineal de [math]f=(f_{1},\ldots,f_{m})[/math] se denomina Jacobiana, y se denota del siguiente modo,[br][br][math][br]Jf(a)=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]\partial_{x_{1}}f_{1}(a)&\ldots&\partial_{x_{n}}f_{1}(a)\\[br]\vdots & &\vdots\\[br]\partial_{x_{1}}f_{m}(a)&\ldots&\partial_{x_{n}}f_{m}(a)[br]\end{matrix}[br]\right).[br][/math][br][br]La matriz Jacobiana generaliza para funciones a [math]\mathbb{R}^{m}[/math] a la noción de gradiente de una función real y es un objeto central.[br][br][color=#ff7700][b]Ejemplo.[/b] [/color]Recordemos que el cambio de coordenadas de esféricas a cartesianas es, [br][br][math][br]f(r,\theta,\varphi)=(x(r,\theta,\varphi),y(r,\theta,\varphi),z(r,\theta,\varphi))=(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi).[br][/math][br][br]Nuevamente, las tres componentes de la función [math]f=(f_{1},f_{2},f_{3})[/math] que definen el cambio de coordenadas se re-etiquetan como [math]f=(x,y,z)[/math], es decir con las letras de las coordenadas cartesianas.[br][br]La matriz Jacobiana en un punto genérico [math](r,\theta,\varphi)[/math] es,[br][br][math][br]Jf(r,\theta,\varphi)=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]\partial_{r}x & \partial_{\theta}x & \partial_{\varphi} x\\[br]\partial_{r}y & \partial_{\theta}y & \partial_{\varphi} y\\[br]\partial_{r}z & \partial_{\theta}z & \partial_{\varphi} z[br]\end{matrix}[br]\right)[br]=[br]\left([br]\begin{matrix}[br]\sin\varphi\cos\theta & -r\sin\varphi\sin\theta & r\cos\varphi\cos\theta\\[br]\sin\varphi\sin\theta & r\sin\varphi\cos\theta & r\cos\varphi\sin\theta\\[br]\cos\varphi & 0 & -r\sin\varphi[br]\end{matrix}[br]\right)[br][/math][br][br][size=150][b][u][color=#1e84cc]Teorema de la función inversa.[br][/color][/u][/b][/size][br]Recordemos que una función entre dos conjuntos, [math]f:X\rightarrow Y[/math] es invertible, si es inyectiva y sobreyectiva. En otras palabras si existe una función de [math]Y[/math] en [math]X[/math], que llamamos [math]f^{-1}:Y\rightarrow X[/math], tal que,[br][br][math]f^{-1}(f(x))=x[/math][br][br]para todo [math]x\in X[/math], y,[br][br][math]f(f^{-1}(y))=y[/math][br][br]para todo [math]y\in Y[/math].[br][br]La función [math]f(x):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/math], dada por [math]f(x)= 2x-1[/math] es claramente invertible con inversa [math]f^{-1}(y)=(1+y)/2[/math]. [br][br]En otras instancias la inversa no existe, pero sí existe si restringimos el codominio. Por ejemplo, la función [math]f(x):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/math] dada por [math]f(x)=e^{x}[/math] no es invertible ya que, por ejemplo, no hay ningún [math]x\in \mathbb{R}[/math] tal que [math]e^{x}=-2[/math] y por lo tanto [math]f^{-1}(-2)[/math] no puede estar definido. Sin embargo si asumimos que [math]f(x)=e^{x}[/math] va a de [math]\mathbb{R}[/math] a [math](0,\infty)[/math], entonces la inversa [math]f^{-1}(0,\infty)\rightarrow \mathbb{R}[/math] sí existe y es por supuesto el logaritmo [math]f^{-1}(y)=\ln y[/math].[br][br]Por último a veces la inversa no existe aún si restringimos el codominio, pero sí si restringimos el dominio y el codominio a la vez. Por ejemplo [math]f(x):\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/math] dada por [math]f(x)=x^{2}[/math], no tiene inversa aún si restringimos el codominio a [math][0,\infty)[/math], ya que por ejemplo [math]f(2)=f(-2)=4[/math] y por lo tanto [math]f^{-1}(4)[/math] no podría estar unívocamente definido. [br][br]Sin embargo si asumimos que [math]f[/math] va de [math][0,\infty)[/math] en [math][0,\infty)[/math], es decir [math]f:[0,\infty)\rightarrow [0.\infty)[/math] entonces [math]f^{-1}:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty)[/math] es naturalmente la raíz cuadrada [math]f^{-1}(y)=\sqrt{y}[/math].[br][br]En general el siguiente teorema de cursos anteriores de cálculo, nos cuando existe una inversa local para funciones reales de una variable.[br][br][b][color=#980000]Teorema.[/color][/b] Sea [math]f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}[/math] una función [math]C^{1}[/math] tal que [math]f'(a)\neq 0[/math]. Entonces existe un entorno abierto [math]U[/math] de [math]a[/math] y un entorno abierto [math]V[/math] de [math]f(a)[/math] tal que [math]f:U\rightarrow V[/math] es invertible con inversa [math]f^{-1}:V\rightarrow U[/math], [math]C^{1}[/math]. Además,[br][br][math][br]f^{-1}'(f(a))=\frac{1}{f'(a)}.[br][/math][br][br]Observar que la hipótesis [math]f'(a)\neq 0[/math] es necesaria. La función [math]f(x)=x^{2}[/math] no es invertible en ningún entorno de [math]0[/math].[br][br]El teorema de la función inversa para funciones [math]f:D\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}[/math] generaliza precisamente el teorema anterior. La hipótesis [math]f'(a)[/math] es reemplazada por la condición [math]Jf(a)[/math] invertible. [br][br][b][color=#980000]Teorema de la función inversa.[/color][/b] Sea [math]f:D\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}[/math], con [math]D[/math] abierto, una función [math]C^{1}[/math]. Si [math]Jf(a)[/math] es invertible, entonces existe un entorno abierto [math]U[/math] de [math]a[/math] y un entorno abierto [math]V[/math] de [math]f(a)[/math] tal que [math]f:U\rightarrow V[/math] es invertible con inversa [math]f^{-1}:V\rightarrow U[/math], [math]C^{1}[/math]. Además,[br][br][math][br]Jf^{-1}(f(a))=(Jf(a))^{-1}.[br][/math] [br][br][br]La prueba del Teorema de la función inversa está fuera del alcance de este curso.