Ein Federpendel mit der rücktreibenden Kraft [math]F=-k\cdot x[/math], die proportional zur Auslenkung x ist, schwingt ohne Dämpfung.

[b]Euler-Verfahren[/b][br]t[sub]neu[/sub] = t[sub]alt[/sub] + Δt[br]v[sub]neu[/sub] = v[sub]alt[/sub] + a[sub]alt[/sub]·Δt[br]x[sub]neu[/sub] = x[sub]alt[/sub] + v[sub]neu[/sub]·Δt[br]a[sub]neu[/sub] = -x[sub]neu[/sub][br][size=85](t Zeit, x Ort, v Geschwindigkeit, a Beschleunigung)[br][br][/size][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Parameter für die Bewegung des Pendels.[br]Wie verändert sich die Genauigkeit der Berechnung für kleineres oder größeres Δt?

Wie man im oberen Applet sieht, wird die [b]Amplitude [/b]der Schwingung beim [b]Euler-Verfahren[/b] vor allem bei größeren Zeitschritten [b]immer größer[/b]. Das entspricht einem Aufschaukeln des Pendels und entspricht in keiner Weise der Realität.[br][br][b]Exakte Lösung der Bewegungsgleichung[/b][br]Für ein mathematisches (Feder)Pendel mit der rücktreibenden Kraft F = -k·x, die proportional zur Auslenkung ist, lautet die Bewegungsgleichung[br] [math]m\cdot \ddot{x}\left(t\right)=-k\cdot x\left(t\right)[/math][br][br]Die Lösung der Bewegungsgleichung ergibt die harmonische Schwingung[br][br] [b] x(t) = A·sin(ωt+φ)[br][/b][br]mit [math]\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}[/math]. Der Einfachheit halber sind hier k = m = 1 gesetzt.[br][br]Aus den beiden Gleichungen[br] [math] x(t) = A·sin(ωt+φ)[/math] [math] \Rightarrow \quad x(0) = A·sin(φ) = h[/math] [br] [math] \dot{x}(t) = A·cos(ωt+φ)[/math] [math] \Rightarrow \quad \dot{x}(0) = A·cos(φ) = v_0[/math] [br]folgt[br] [math]A=\sqrt{v_{0}^2+h^2}[/math] und [math]\varphi=arcsin\left(\frac{h}{A}\right)[/math]

Ein wesentlich besseres Ergebnis liefert die Halbschrittmethode.