[size=85][right][size=85]Die Kreise [color=#0000ff][b]a[/b][/color], [color=#0000ff][b]b[/b][/color], [color=#0000ff][b]c[/b][color=#000000] können mit Hilfe der Randpunkte auf [/color][/color][color=#0000ff][color=#000000][b]K[sub]0[/sub][/b] bewegt werden.[/color][/color][/size][br][color=#ff7700][b][size=50][/size][/b][/color][/right][right][color=#ff7700][b][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]gebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/sthupnav]APOLLONIOS circles & conics[/url] (November 2018)[/size][/b][/color][/right][/size][br][size=85]Zu den drei vorgegebenen Kreisen [color=#0000ff][b]a[/b][/color], [color=#0000ff][b]b[/b][/color], [color=#0000ff][b]c[/b][/color] werden für jeden denkbaren Fall die [color=#980000][b]Symmetrie-Kreise[/b][/color] konstruiert. [/size][size=85][color=#0000ff][b]a[/b][/color], [color=#0000ff][b]b[/b][/color], [color=#0000ff][b]c[/b][/color] sind orthogonal zu [b]K[sub]0[/sub][/b], die [/size][size=85][size=85][color=#980000][b]Symmetrie-Kreise[/b][/color][/size] sind es ebenfalls. Alle diese Kreise sind im [b]POINCARÉ[/b]schen Kreisscheibenmodell also hyperbolische GERADEN. [br][/size][br][size=85][list][*]Gesucht werden [color=#ff00ff][b]berührende Kreise[/b][/color]: dies ist das Problem des [b]APOLLONIOS[/b] für den vorliegenden hyperbolischen Spezialfall.[br][/*][/list]Schneiden sich die [color=#980000][b]Symmetrie-Kreise[/b][/color] in einem gemeinsamen [color=#ff0000][b]Punkt[/b][/color], so vertauschen die Spiegelungen an den [/size][size=85][size=85][color=#980000][b]Symmetrie-Kreisen[/b][/color][/size] die vorgegebenen [color=#0000ff][b]Kreise[/b][/color]. Berührt ein [color=#ff00ff][b]Kreis[/b][/color] einen der [color=#0000ff][b]Kreise[/b][/color] [color=#0000ff][b]a[/b][/color], [color=#0000ff][b]b[/b][/color], oder [color=#0000ff][b]c[/b][color=#000000],[/color][/color] so berührt er auch die anderen 2 Kreise. [br]Ein solcher [/size][size=85][size=85][size=85][color=#ff00ff][b]Berührkreis[/b][/color][/size][/size] ist auch in der hyperbolischen Ebene ein [color=#ff00ff][b]KREIS[/b][/color]: das ist die Menge aller Punkte, die vom [color=#ff0000][b]MITTELPUNKT[/b][/color] des [color=#ff00ff][b]KREISES[/b][/color] denselben hyperbolischen Abstand besitzen. Der MITTELPUNKT ist hier der [color=#ff0000][b]Symmetrie-[/b][b]Punkt[/b][/color].[br][/size][size=85]Es gibt aber auch den Fall, dass 3 [/size][size=85][size=85][color=#980000][b]Symmetrie-Kreise[/b][/color][/size] zu [color=#0000ff][b]a,b[/b][/color], [color=#0000ff][b]b,c[/b][/color] und [b][color=#0000ff]c,[/color][/b]a in einem [i][b]elliptischen[/b][/i] Kreisbüschel liegen. [br]Die [color=#ff0000][b]Büschelpunkte[/b][/color] dieses elliptischen Kreisbüschels liegen auf [/size][size=85][size=85][b]K[sub]0[/sub][/b][/size]. [br]Der [/size][size=85][size=85][color=#ff00ff][b]Berührkreis [/b][/color][/size] ist dann eine [i][b]Abstandslinie [/b][/i]der hyperbolischen GERADEN mit den [color=#ff0000][b]Büschelpunkten[/b][/color] als Randpunkten.[br]Auch in diesem Fall kann man einen [color=#ff00ff][b]Berührkreis [/b][/color]konstruieren.[br]Die Figur ist symmetrisch zum absoluten Kreis [b]K[sub]0[/sub][/b], daher treten die [color=#ff00ff][b]Berührkreise[/b][/color] immer paarweise auf![br][br]Wie konstruiert man die [color=#980000][b]Berührpunkte[/b][/color]?[br]Im Prinzip ist es dasselbe Verfahren wie für die Dreiecke in der euklidische Ebene: zu den Seiten des Dreiecks konstruiert man die [color=#980000][b]Winkelhalbierenden[/b][/color]. Die [/size][size=85][size=85][color=#980000][b]Berührpunkte[/b][/color][/size] für den [color=#ff00ff][i][b]Innenkreis[/b][/i][/color], bzw. für die [color=#ff00ff][i][b]Ankreise[/b][/i][/color] findet man, in dem man von den [color=#ff0000][b]Winkelhalbierenden-Schnittpunkten[/b][/color] die [color=#ff7700][b]Lote[/b][/color] auf die [color=#0000ff][b]Dreiecksseiten[/b][/color] fällt![br][br]Betrachtet man im obigen Applet den Grenzfall, dass die 3 GERADEN in [b]3 Randpunkte[/b] übergehen, so findet man als [i][b]einzigen[/b][/i] Berührkreis der 3 Punktkreise den absoluten Kreis [/size][size=85][size=85][b]K[sub]0[/sub][/b][/size], dieser ist dann der [i][b]Umkreis des entstehenden Dreiecks[/b][/i].[br]Auch die Grenzfälle [b]1 Punkte - 2 Kreise[/b] bzw. [b]2 Punkte - 1 Kreis[/b] kann man mit dem Applet erkunden![br][br][br][br][/size][color=#0000ff][color=#000000][color=#0000ff][color=#000000][color=#980000][size=50][right]Man vergleiche auch das [b]geogebra-books[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/efbe93k6]kugel-dreiecke[/url] (August 2018)[/right][/size][/color][/color][/color][br][/color][/color]