Retos VII Club GeoGebra Iberoamericano
Soluciones de los retos propuestos en la VII edición del Club GeoGebra Iberoamericano celebrado en 2021.
Table of Contents
- Aspectos generales
- Aspectos generales
- Circunferencia. Ángulos en la circunferencia
- Reto 1A
- Reto 2A.
- Reto 1B
- Reto 2B
- Listas y secuencias
- Reto 1A. Sucesión de Fibonacci
- Reto 2A. Números triangulares
- Reto 1B. Divisores
- Reto 2B. División de un triángulo
- Cuadriláteros
- Reto 1A. Cuadrilátero y triángulo de igual área
- Reto 2A. Octógono
- Reto 1B. Rombo y cuadrado de igual área
- Reto 2B. Dividir un cuadrilátero en dos partes iguales
- Geometría afín y euclídea
- Reto 1A. Circunferencia tangente
- Reto 2A. Cubo
- Reto 1B. Triángulo
- Reto 2B. Distancia en el espacio
- Animación
- Reto 1A. Triángulo movil
- Reto1B. Rectángulo
- Reto 2A. Animar un polígono
- 2B. Animación en una poligonal
- Introducción a la creación de guiones
- Reto 1A. Recta
- Reto 1B. Potencia
- Reto 2A. Segmento
- Reto 2B. Triángulo
Aspectos generales
Reto 1A. Circunferencias tangentes
A partir de dos circunferencias construye la circunferencia que sea tangente a ambas circunferencias.[br][br]¿Es única?
En una primera construcción vamos a construir las cincunferencias tangentes interior y exterior a dos circunferencias dadas.[br]Los pasos que hay que realizar, una vez dibujadas las dos circunferencias, será trazar la recta que pasa por lo centros de ambas circunferencias.[br]A continuación se obtienen los puntos de intersección con las dos circunferencias.[br]Si los puntos de interseccion con la primera circunferencia son E y F, y con la segunda son G y H, las cicunferencias tangentes tendrán como centro el punto medio del segmento EH y la segunda tendrá el centro en el punto medio del segmento FG, tal y como aparece en el applets mostrado a continuación.[br]Como se han construido dos circunferencias ya tenemos la respuesta a la pregunta, la circunferencia tangente no es única.
Circunferencias tangentes
Esta actividades ofrece muchas posibilidades para construir las infinitas circunferencias tangentes que existen.[br]A continuación incluimos dos construcciones distintas, enviadas por los participantes del club, en las que aparecen infinitas circunferencias.
Infinitas circunferencias tangentes
En la construcción anterior, tal como indica el autor, hay infinitas soluciones. Existe una circunferencia tangente siempre que [math]90<\alpha<270[/math], con [math]\alpha[/math] igual a la amplitud del ángulo EFC.
Dadas las enormes posibilidades que este reto ofrece, recomendamos leer el siguiente artículo:[br]Tangent Circles of Two Separate Circles escrito porBrian Swanagan, publicado en The University of Georgia, diponible en la direccón:[br][br]http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Su06/Swanagan/Assignment7/BSAssignment7.html[br]
Reto 2A. Rectángulo y triángulo de igual área
A partir de un rectángulo cualquiera, previamente creado de manera que al mover sus elementos siga manteniendo la condición de rectángulo, construye un triángulo cuya área sea igual a la del rectángulo inicial.[br][br][br]
Dado un rectángulo de base b y altura a, se trata de construir un triángulo que tenga el mismo área, es decir a.b[br]Por tanto como el área del triángulo es un medio del producto de la base por la altura del triángulo, para que se cumpla la condición pedida, bastará con realizar una de las dos siguientes construcciones:[br]a. Construir un triángulo que tenga doble base que el rectángulo y la misma altura.[br]b. Construir un triángulo que tenga igual base y doble altura que el triángulo.[br][br]En el primer caso, se pueden realizar los pasos siguientes:[br]1. Trazamos la recta sobre la base del triángulo, con ayuda de la herramienta Circunferencia, se traza una circunferencia de radio igual a la base del rectángulo. El punto de intersección con la recta nos dará el diámetro y por tanto, será el doble de la base.[br]2. Trazamos la recta que pasa por los vértices de la base opuesta del rectángulo.[br]3 Cualquier punto situado en esta recta será el tercer vértice del triángulo buscado.[br][br]Realizamos esta construcción en el applets mostrado a continuación.[br][br]Hay que tener en cuenta que el rectángulo se deberá construir de manera que al mover sus vértices, mantenga sus propiedades.[br][br]En el applet siguiente al mover F se obtienen infinitos triángulos con igual área que el rectángulo.[br]
Rectángulo y triángulo de cualquier área
De igual manera se construye el segundo caso en el que se mantiene la base del rectángulo y se hace doble la altura.[br]
Mostramos a continuación una nueva construcción en la que hemos realizado una animación.
Reto 1B. Triángulo en movimiento
Construye un triángulo cuyos vértices sean el centro de la circunferencia y dos puntos sobre ella, de manera similar a como aparece en la imagen, de manera que al animar el punto C, el triángulo gire sobre la circunferencia sin deformarse.[br][br]
El primer objeto que se debe contruir es la circunferencia, situando un punto C sobre ella. Este punto debe ser distinto del utilizado para crear la circunferencia con la herramienta Circunferencia (centro-punto).[br]A continuación con centro en C se traza una nueva circunferencia con la herramienta Circunferencia (centro-radio). El radio puede ser cualquier valor, por ejemplo una unidad para que al mover C el triángulo que vamos a crear no se deforme.[br]El siguiente paso será obtener los puntos de intersección entre las dos circunferencias.[br]Y por último, solo queda crear el triángulo cuyos vértices serán el centro O de la primera circunferencia, el punto C y uno de los dos puntos de intersección de las dos circunferencias.[br]Ya solo queda mover C o activar su animación para comprobar el movimiento del triángulo que no se desformará.
Una vez ocultados todos los objetos, dejamos solo la circunferencia inicial, el punto C y el triángulo que se moverá al aplicar movimiento al punto C.
Reto 2B. Relación entre áreas de polígonos
Dibuja con GeoGebra un polígono de tres lados. Traza sus puntos medios y únelos. Determina la razón o proporción entre las áreas del segundo triángulo y del primero. ¿Qué resultado puedes conjeturar?[br]Mueve los vértices del triángulo original y comprueba si tu conjetura sigue siendo válida.[br]
Por semejanza entre los triángulos, las longitudes de los tres lados del triángulo interior son la mitad de las de sus correspondientes en el triángulo inicial. Así pues, se tratará de figuras semejantes con razón de semejanza igual a 1/2. Por consiguiente, las razones entre las áreas será el cuadrado de 1/2, o sea 1/4.[br][br][br]
Dibuja ahora un cuadrilátero y traza sus puntos medios. Únelos. Determina la razón o proporción entre las[br]áreas del segundo polígono obtenido y del primero. ¿Qué resultado puedes conjeturar?[br][br]Mueve los vértices del cuadrilátero original y comprueba si tu conjetura sigue siendo válida.
La relaciónanterior está determinada por el teorema de Varignon que determina que al unir los puntos medios de un cuadrilátero, el polígono obtenido es un paralelogramo y su área es la mitad del área del cuadrilátero inicial.
Comprobemos qué ocurre con un polìgono de 5 lados y con uno de seis.
Reto 1A
Dada una recta r y dos puntos A y B que no pertenecen a r, determina un punto P en la recta tal que el ángulo APB sea un ángulo recto.[br]¿Existe siempre este punto P? ¿Es único?
Reto 1A. Sucesión de Fibonacci
Sean a y b dos deslizadores enteros que toman valores entre 1 y 5, siendo b≥a.[br]Crea una sucesión cuyos elementos sean los términos de la sucesión de Fibonacci cuyo primer término es el valor de a, y como segundo término el valor de b.[br][br]La sucesión debe cambiar al variar los valores de los deslizadores.
Reto 1A. Cuadrilátero y triángulo de igual área
A partir de un cuadrilátero ABCD cualquiera, construye sobre él, un triángulo de igual área.
Reto 1A. Circunferencia tangente
Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta –x+y=1, sabiendo que es tangente al eje Y en el punto (0,5) y que pasa por el punto (4,1).
Reto 1A. Triángulo movil
En una circunferencia de centro O queremos dibujar un triángulo rectángulo cuyos vértices serán O, A y B, siendo A y B puntos de la circunferencia.[br]Rellena el triángulo con un fondo que corresponda a una imagen, no a un color, tal y como aparece en la documentación de este tema.[br]Como se tendrá que construir el triángulo para que al mover el punto A sobre la circunferencia, el triángulo se mueva pero no cambie de tamaño.[br][br]
Reto 1A. Recta
Dada la recta [i]y = mx + n[/i], crear dos Casillas de Entrada con rótulos adecuados para que el usuario pueda modificar los valores de la pendiente [i]m [/i]y de la ordenada en el origen [i]n[/i]. [br]La recta será representada cada vez que se actualicen los valores.