Der Produktlebenszyklus ist ein Konzept der Betriebswirtschaftslehre, das den Prozess von der Markteinführung bzw. Fertigstellung eines marktfähigen Produktes bis zu seiner Herausnahme aus dem Markt beschreibt. ([url=https://de.wikipedia.org/wiki/Produktlebenszyklus]Wikipedia[/url])[br]Das heißt die Abszisse ist beim Produktlebenszyklus nicht - wie sonst meistens - die Warenmenge [math]x[/math], sondern hier ist auf der Abszisse die Zeit abgetragen, zum Beispiel in Jahren. Auf der Ordinate des Funktionsgraphen der Produktlebenszyklusfunktion liest man den Umsatz pro Zeiteinheit ab, z.B. pro Monat.[br]Im Bild unten ist eine solche Funktion abgebildet. Das Produkt kommt bei [math]t=0[/math] auf den Markt und wird offenbar nach 10 Jahren wieder vom Markt genommen, weil es zum Beispiel ein Folgeprodukt gibt.[br]
Ein Produkt kommt bei t=0 auf den Markt. Nach 4 Jahren ist der monatliche Umsatz mit 216 GE/Monat am höchsten. Nach 8 Jahren geht der Umsatz am stärksten zurück und nach 10 Jahren wird das Produkt vom Markt genommen
Es gibt hier 5 Bedingungen:[br]1. Das Produkt kommt bei t=0 auf den Markt: [math]\Rightarrow f(0)=0[/math][br]2. der Umsatz ist nach 4 Jahren gleich 216 GE/Monat [math]\Rightarrow f(4)=216[/math][br]3. Nach 4 Jahren ist der Umsatz am höchsten [math]\Rightarrow f'(4)=0[/math][br]4. Nach 8 Jahren geht der Umsatz am schnellsten zurück [math]\Rightarrow f''(8)=0[/math][br]5. Nach 10 Jahren wird das Produkt vom Markt genommen [math]\Rightarrow f(10)=0[/math][br]Da es 5 Bedingungen gibt, kann man damit eine ganzrationale Funktion 4. Grades erzeugen:[br][math]f(x)=a_4\cdot x^4+a_3\cdot x^3+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0[/math][br][br]das führt zu dem Gleichungssystem:[br][img]data:image/png;base64,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eine Lösung z.B. mit dem CAS führt zur Funktionsgleichung:[br][math]f(x)=\frac{1}{32}\cdot x^4+\frac{3}{16}\cdot x^3-\frac{33}{2}\cdot x^2+115\cdot x[/math]