Una disequazione [b]irrazionale elementare[/b] del tipo:[br][center][math]\large \sqrt[n]{R\left(x\right)}\ge P(x)\quad n\ge2\quad\text{pari}[/math][/center]si risolve nel modo seguente:[center][math]\large \bf\it\begin{cases}R\left(x\right)\ge [P(x)]^n\\ P\left(x\right)\ge0\end{cases}\vee\begin{cases}R\left(x\right)\ge0\\[br]P\left(x\right)<0\end{cases}[/math][/center][left]_________________________________________________________________________________________________________[/left]Nel caso particolare in cui[center][math]\large \sqrt[n]{R\left(x\right)}\ge a\quad n\ge2\quad\text{pari},\;a\in\mathbb{R}[/math][/center]si risolve nel modo seguente:[br][list][*]se [b]a[/b] è [b]negativo [/b]la risoluzione si riduce alla sola [b]condizione di esistenza[/b] della radice, ovvero:[center][math]\large \bf\it R(x)\ge0 [/math][/center][/*][*]se [b]a[/b] è [b]maggiore o uguale a zero[/b], è sufficiente [b]elevare[/b] all'indice di radice entrambi i membri, ovvero:[center][math]\large \bf\it R(x)\ge a^n [/math][/center][/*][/list]

1)Risolvere la seguente disequazione irrazionale:[br][center][math]\large \sqrt[4]{-3 x+18}>-2[/math][/center]Essendo l'indice [b]pari [/b]ed il secondo membro [b]negativo[/b], la risoluzione si riduce alla [b]condizione d'esistenza del radicando[/b], ovvero:[br][center][math]-3x+18\ge0\ \longrightarrow\ -3x\ge-18\ \longrightarrow\large\bf x\le6[/math][/center][left]_________________________________________________________________________________________________________[/left]2) Risolvere la seguente disequazione irrazionale:[center][math]\large\sqrt[4]{x+79} \geq 3[/math][/center]Essendo l'indice [b]pari [/b]ed il secondo membro [b]positivo[/b], è sufficiente [b]elevare [/b]entrami i membri all'indice di radice, ovvero:[br][center][math]x+79\ge3^4\ \longrightarrow\ x+79\ge81\ \longrightarrow\ \large\bf x\ge2[/math][/center]

[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Val. max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Con lo slider [b]"° max" [/b]è possibile fissare il grado massimo dell'espressione radicando.[/*][*]Con lo slider [b]"ind. max" [/b]è possibile fissare il valore massimo dell'indice di radice.[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]

Risolvere la seguente disequazione irrazionale:[br][center][math]\large \sqrt{3 x^{2}+6 x+1} \geq 2 x+1[/math][/center]Essendo l'indice [b]pari[/b] e considerando il verso della disuguaglianza, lo sviluppo si articola attraverso la risoluzione dei due seguenti sistemi di disequazioni:[br][center][math]\Large(i)\begin{cases}3x^2+6x+1\ge\left(2x+1\right)^2\\[br]2x+1\ge0\end{cases}\vee(ii)\begin{cases}3x^2+6x+1\ge0\\[br]2x+1<0\end{cases}[/math][/center][br]Si risolve il primo sistema di disequazioni:[br][math](i)\begin{cases}3x^2+6x+1\ge\left(2x+1\right)^2\\[br]2x+1\ge0\end{cases}\longrightarrow\begin{cases}3x^2+6x+\cancel{1}\ge4x^2+4x+1\\[br]x\ge-\frac{1}{2}\end{cases}\longrightarrow\begin{cases}x^2-2x\le0\\[br]x\ge-\frac{1}{2}\end{cases}\longrightarrow\cdots\longrightarrow\begin{cases}0\le x\le2\\[br]x\ge-\frac{1}{2}\end{cases}\longrightarrow\large\bf 0\le x\le2[/math][br]Si risolve il secondo sistema di disequazioni:[br][math](ii)\begin{cases}3x^2+6x+1\ge0\\[br]2x+1<0\end{cases}\longrightarrow\ \begin{cases}3x^2+6x+1\ge0\\[br]x<-\frac{1}{2}\end{cases}\longrightarrow\ x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{36-12}}{6}=\frac{-\cancel{6}^3\pm^1\cancel{2}\sqrt{6}}{\cancel{6}_3}\ \longrightarrow\begin{cases}x\le\frac{-3-\sqrt{6}}{3}\vee x\ge\frac{-3+\sqrt{6}}{3}\\[br]x<-\frac{1}{2}\end{cases}\longrightarrow\large\bf x\le\frac{-3-\sqrt{6}}{3}[/math][br]Unendo le due soluzioni si ha:[br][center][math]\large\bf x\le\frac{-3-\sqrt{6}}{3}\vee 0\le x\le2[/math][/center]

[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Valori max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]