Die Ableitung des Weges ist gegeben durch:[br][math]f':\left[-1,1\right]\rightarrow\mathbb{R}^2,f'\left(t\right)=\left(\begin{matrix}t\cdot cos\left(4t^2\right)\\e^{2t}\left(3t^2+2t^3\right)\\3t^2-4t+1\end{matrix}\right)[/math]

Genau wie im eindimensionalen Fall muss die Steigung der Kurve positiv sein damit sie wächst.[br]Es muss also gelten: [math]\frac{y'\left(t_0\right)}{x'\left(t_0\right)}>0[/math].[br]Analog muss sie negativ sein für fallend und genau 0 für gleichbleibend.

Die Ableitung des Weges ist gegeben durch [math]f'\left(t\right)=\left(\begin{matrix}x'\left(t\right)\\y'\left(t\right)\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2t\\3t^2-1\end{matrix}\right)[/math].[br]Die Steigung von [math]f[/math] an der Stelle [math]t=1[/math] ist also [math]\frac{y'\left(1\right)}{x'\left(1\right)}=\frac{3\cdot1^2-1}{2\cdot1}=1[/math].[br]Da [math]1>0[/math], wächst die Kurve an der Stelle [math]t=1[/math].

Die Steigung der Kurve ist im Punkt [math]t_0[/math] unendlich groß bzw. klein genau dann, wenn der Quotient [math]\frac{y'\left(t_0\right)}{x'\left(t_0\right)}[/math] "unendlich groß bzw. klein" ist.[br]Ein solcher Quotient kann natürlich keinen unendlichen Wert annehmen, aber da sämtliche Funktionen, die wir hier betrachten stetig sind, reicht es aus, wenn der Grenzwert [math]lim_{t_{ }\rightarrow t_0}\frac{y'\left(t\right)}{x'\left(t_{ }\right)}[/math] gegen + oder - unendlich strebt. Dies ist der Fall, wenn [math]lim_{t\rightarrow t_0}x'\left(t\right)=0[/math] (und [math]y'\left(t\right)[/math] konstant) bzw. wegen Stetigkeit wieder [math]x'\left(t_0\right)=0[/math].[br]Abhängig vom Zähler ist die Steigung dann positiv oder negativ.[br]Sollte sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen 0 gehen, so kann man nicht sofort sehen, wie die Steigung aussieht.[br](Wenn du magst kannst du ja mal recherchieren, wie man dann vorgeht. Stichwort: "Regel von l'Hospital")

[b]Achsenabschnitte:[/b][br]Y-Achse:[br][math]f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}0\\a\end{matrix}\right)\Rightarrow-\frac{1}{20}t^3+15t=0\Rightarrow t\cdot\left(-\frac{1}{20}t^2+15\right)=0\Rightarrow t=0\vee-\frac{1}{20}t^2+15=0[/math][br][math]-\frac{1}{20}t^2+15=0\Rightarrow t=-10\cdot\sqrt{3}\vee t=10\cdot\sqrt{3}[/math][br][math]-10\cdot\sqrt{3}<-6\wedge10\cdot\sqrt{3}>6\Rightarrow t=0[/math] liefert den einzigen y-Achsenabschnitt und zwar an der Stelle[br][math]f\left(0\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)[/math].[br][br]X-Achse:[br][math]f\left(t\right)=\left(\begin{matrix}a\\0\end{matrix}\right)\Rightarrow\frac{1}{9}t^3-\frac{1}{6}t^2-2t=0\Rightarrow t\cdot\left(\frac{1}{9}t^2-\frac{1}{6}t-2\right)=0\Rightarrow t=0\vee\left(\frac{1}{9}t^2-\frac{1}{6}t-2\right)=0[/math][br][math]\frac{1}{9}t^2-\frac{1}{6}t-2=0\Rightarrow t=\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{\left(297\right)}}{4}\vee t=\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{\left(297\right)}}{4}[/math][br]Damit sind die x-Achsenabschnitte gegeben durch:[br][math]f\left(\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{\left(297\right)}}{4}\right)=\left(\begin{matrix}-51.12\\0\end{matrix}\right)[/math], [math]f\left(0\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)[/math] und [math]f\left(\frac{3}{4}+\frac{\sqrt{\left(297\right)}}{4}\right)=\left(\begin{matrix}0\\69.4\end{matrix}\right)[/math].[br][br][b]Extremstellen:[/b][br]Die Ableitung des Weges lautet [math]f'\left(t\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}t^2+15\\\frac{1}{3}t^2-\frac{1}{3}t-2\end{matrix}\right)[/math].[br]Die Steigung ist 0 genau dann, wenn die y-Komponente 0 ist.[br][math]y'\left(t\right)=0\Rightarrow\frac{1}{3}t^2-\frac{1}{3}t-2=0\Rightarrow t=-2\vee t=3[/math][br][math]f\left(-2\right)=\left(\begin{matrix}-29.6\\2.44\end{matrix}\right)[/math] und [math]f\left(3\right)=\left(\begin{matrix}43.65\\-4.5\end{matrix}\right)[/math] sind die einzigen beiden möglichen Extremstellen.[br]Aus [math]f'\left(t\right)=\left(\begin{matrix}15\\2\end{matrix}\right)[/math], d.h. [math]\frac{y'\left(0\right)}{x'\left(0\right)}=-\frac{2}{15}<0[/math] folgt ein monotones Fallen zwischen diesen Extremstellen, also beschreibt der Punkt [math]\left(\begin{matrix}-29.6\\2.44\end{matrix}\right)[/math] ein Minimum und der Punkt [math]\left(\begin{matrix}43.65\\-4.5\end{matrix}\right)[/math] ein Maximum.[br][br]Die Steigung kann nur unendlich sein, wenn der Nenner 0 ist.[br][math]x'\left(t\right)=0\Rightarrow-\frac{3}{20}t^2+15=0\Rightarrow t=-10\vee t=10[/math][br]Diese Punkte liegen außerhalb des Definitionsbereiches.[br]