極線上の極の三角形極線が円錐曲線に接することの証明

三角形極線上の点の極線
定理　「[b]三角形の極線上の点を極とする三角形極線は元の極と極線が作る内接円錐曲線に接する。[/b]」[br][br]証明　　下図[br]最初三角形だけで考えてきたけど、内接四角形で考えれば良いことにようやく気がついた。[br]内接円錐曲線が極線の作る完全四角形に内接することをえばよい。証明には調和比を用いる。[br][url=https://bunryuk.hatenablog.com/entry/2021/02/17/000000]４年来悩んできた問題が解けた - 文ちゃんのページ (hatenablog.com)[br][/url][br]この証明はあまりにも複雑すぎてわかりにくい。[br]線が多すぎる。[br]そこで、パップスの定理を用いた簡単な証明も試みてみた。⇒「三角形極線の性質の証明」
右上のＯを動かしてみよう。この定理を発見してからもう何年たつのだろう。ついに証明できた。この図はこの前のシートの余分な線や点をどんどん消していって単純にしたもの。前のシートのＣ_1がＤ_1にあたる。Ｆ.Ｕ,Ｗ,Ｄ_1の比の関係からＷが円錐曲線上にあることがわかる。
これが成り立っているので上のことが言える。円錐曲線がなくても成り立っている。
楕円に接する場合も同様の比が成り立っている。比が成り立てば、内接楕円がある。（このように作図できる）⇔楕円に接していることが言える。下のナビゲーションで作図の手順を確かめてみよう。
– Bunryu Kamimura

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