Data una funzione [b][math]y=f(x)[/math][/b] e un punto [b][math]x_0\in D(f)[/math][/b], in cui la funzione sia derivabile. [br]Se [math]x_0[/math] è un punto di estremo relativo (massimo o minimo), allora [b][math]f'(x_0)=0[/math][/b].

Dal Lemma di Fermat di deduce che la [b]retta tangente[/b] nei punti di massimo o minimo di una funzione, ove in questi punti sia [b]derivabile[/b], è parallela all'asse X.

[list][*]Muovi il punto P sulla curva in modo da valutare il valore della derivata[/*][*]Con l'opzione "Mostra pt modifica" è possibile visualizzare 4 punti con i quali modificare la curva[/*][*]Con l'opzione "Mostra tangenti" è possibile visualizzare le tangenti alla curva nei punti estremali[br][/*][*]Con l'opzione "Mostra f'(x)" è possibile visualizzare la curva della derivata della funzione e le relative intersezioni con l'asse X[br][/*][/list]

Per ipotesi la funzione è derivabile in [math]x_0[/math], quindi[br][math]\exists\lim_{ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\in \mathbb{R}[/math][br]Supponiamo che [math]x_0[/math] sia un punto di massimo relativo, ovvero[br][math]\exists I_{x_0} /\; f(x_0)>f(x)\;\forall x\in I_{x_0}[/math][br]Allora si ha:[br][list][*]la derivata sinistra [math]f'_{-}(x_0)=\lim_{ x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{\ominus}{\ominus}=\oplus[/math][/*][br][*]la derivata destra [math]f'_{+}(x_0)=\lim_{ x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{\ominus}{\oplus}=\ominus[/math][/*][/list][br]essendo sempre [math]f(x)-f(x_0)<0[/math] per definizione di massimo.[br]Ma per ipotesi la funzione è derivabile in [math]x_0[/math], quindi derivata destra e sinistra sono uguali a [math]f'(x_0)[/math], ed essendo una positiva e l'altra negativa implicano che [math]f'(x_0)=0[/math].[br]Analogamente il teorema si dimostra se [math]x_0[/math] è un punto di minimo relativo.[br]Il caso di punti estremali assoluti è un caso particolare dei relativi.[br][br]