Zadanie 1.3

[br]a) Zbadaj, czy w otoczeniach punktów [math]A=(2,0)[/math] i [math]B=(0,-\pi)[/math] istnieją jednoznacznie wyznaczone funkcje zmiennej [math]x[/math] uwikłane równaniem [math]x-\cos y=1[/math]. Jeśli tak, oblicz ich pochodne.[br]b)* Dla podanych punktów zbadaj istnienie funkcji uwikłanych zmiennej [math]y[/math].[br]c) Czy krzywa opisana równaniem [math]x-\cos y=1[/math] jest wykresem funkcji zmiennej [math]x[/math] lub [math]y[/math]? Uzasadnij odpowiedź.[br][br][u]Rozwiązanie.[/u][br][size=85]Zmodyfikuj definicję krzywej [math]\scriptstyle S[/math] opisanej danym równaniem, punktów [math]A[/math] i [math]B[/math] oraz pomocniczej funkcji [math]F[/math]. Sprawdź założenia twierdzenia w każdym punkcie oddzielnie.[br][center][/center][/size]

[b]Odpowiedź.[/b][br]Wykorzystując twierdzenie o istnieniu funkcji uwikłanej możemy stwierdzić, że równanie [math]x-\cos y=1[/math]

na pewnym otoczeniu punktu [math]y_0=0[/math] określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną [math]x=g(y)[/math] taką, że [math]g(0)=2[/math]. na pewnym otoczeniu punktu [math]x_0=2[/math] określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną [math]y=f(x)[/math] taką, że [math]f(2)=0[/math].

Wykorzystując twierdzenie o istnieniu funkcji uwikłanej możemy stwierdzić, że równanie [math]x-\cos y=1[/math]

na pewnym otoczeniu punktu [math]y_0=-\pi[/math] określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną [math]x=g(y)[/math] taką, że [math]g(-\pi)=0[/math]. na pewnym otoczeniu punktu [math]x_0=0[/math] określa dokładnie jedną funkcję uwikłaną [math]y=f(x)[/math] taką, że [math]f(0)=-\pi[/math].

Krzywa opisana równaniem [math]x-\cos y=1[/math]

nie jest wykresem ani funkcji zmiennej [math]x[/math] ani funkcji zmiennej [math]y[/math]. jest wykresem pewnej funkcji zmiennej [math]x[/math]. jest wykresem pewnej funkcji zmiennej [math]y[/math].

Zadanie 1.3

Information: Zadanie 1.3