Fasci di rette

Annamaria De Robertis, Dec 4, 2024

Table of Contents

  1. Introduzione
    1. Obiettivi
  2. Fascio proprio
    1. Definizione
    2. Rette generatrici
    3. Prova tu
    4. Data l'equazione del fascio, trova il centro e le generatrici
    5. Studiamo le caratteristiche di un fascio proprio
    6. Verifica
  3. Fascio improprio
    1. Definizione
    2. Retta base del fascio
    3. Verifica
  4. Che fascio è?
    1. Fascio proprio o fascio improprio
    2. Test: riconosci il fascio di rette
  5. Esercitazione
    1. Trova il valore del parametro
    2. Verifica

1.

Introduzione

  • 1. Obiettivi

1.1.

Obiettivi

[b][color=#ff0000]Con queste attività imparerai:[br][/color][/b][br][color=#000000]- cos'è un fascio di rette[/color][br]-  a scrivere l'equazione di un fascio di rette noto il centro o le generatrici e, viceversa, a determinare centro e generatrici di un fascio di rette assegnato[br]- a distinguere un fascio di rette proprio da uno improprio[br]- ad individuare rette del fascio che soddisfino condizioni assegnate[list][/list] 
– Annamaria De Robertis

2.

Fascio proprio

  • 1. Definizione
  • 2. Rette generatrici
  • 3. Prova tu
  • 4. Data l'equazione del fascio, trova il centro e le generatrici
  • 5. Studiamo le caratteristiche di un fascio proprio
  • 6. Verifica

2.1.

Definizione

[size=150]Si definisce [b]fascio proprio di rette[/b] l'insieme di tutte le retta del piano che passano per uno stesso punto C, che è detto [b]sostegno[/b] o [b]centro del fascio.[br][br][/b][/size][color=#ff0000]Fai variare lo slider per visualizzare le rette del fascio di centro C(2, -1)[/color]
[size=150]Un fascio proprio di rette è descritto da un'equazione simile a quella di una retta singola, ma in cui i coefficienti m e q dipendono da un parametro k. A ogni valore di k corrisponde una retta del fascio.[/size]
L'equazione del fascio di rette di centro C(2,-1) è:
– Annamaria De Robertis

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

3.

Fascio improprio

  • 1. Definizione
  • 2. Retta base del fascio
  • 3. Verifica

3.1.

Definizione

[size=150]Cosa succede se le rette generatrici sono parallele?[br]Per esempio se:[br][br]r:     x - y + 1 = 0[br]s:    x - y - 3 = 0[/size][br]
[size=150]In questo caso la combinazione lineare delle due rette è:[br][center]x - y + 1 +k(x - y - 3) = 0[br](k + 1)x - (K + 1)y + 1 -3k = 0[/center]che, esplicitata rispetto ad y, diventa:[br]y = x + [math]\frac{1-3k}{k+1}[/math]         con k ≠ -1[br] Pertanto le rette di questo fascio sono tutte parallele tra loro, con coefficiente angolare uguale a 1.[br][color=#000000]L'insieme di tutte le retta del piano parallele ad una retta r [/color][color=#000000]si chiama [b]fascio improprio di rette[/b].[/color][br][color=#000000]Un fascio improprio di rette è descritto da un'equazione simile a quella di una retta singola, in cui m è costante ma q dipende dal un parametro k: ad ogni valore di k corrisponde una retta del fascio.[/color][/size]
– Annamaria De Robertis

3.2.

–

3.3.

–

4.

Che fascio è?

  • 1. Fascio proprio o fascio improprio
  • 2. Test: riconosci il fascio di rette

4.1.

Fascio proprio o fascio improprio

[size=150][color=#000000]Per stabilire la natura di un fascio di rette, è sufficiente calcolare il coefficiente angolare del fascio: [math]m=-\frac{a}{b}[/math][/color][br][color=#000000]Se questo dipende dal parametro k, vorrà dire che [b]ogni retta ha un coefficiente angolare diverso[/b], quindi le rette del fascio non sono parallele ([color=#ff0000]il fascio è proprio[/color]).[/color][br][color=#000000]Se al contrario il valore del coefficiente angolare non dipende dal parametro k ma è costante, vorrà dire che tutte le rette del fascio hanno lo stesso coefficiente angolare e quindi sono parallele ([color=#ff0000]fascio improprio[/color]).[/color][/size][br] 
[size=150][color=#ff0000][b]PROVIAMO INSIEME[/b][/color][br][b]P[/b][b]er ciascuno dei seguenti[/b] [b][color=#000000]fasci di rette:[/color][/b][br][list=1][*](k + 1)x + (2k - 1)y + k + 2 = 0[/*][*](k + 1)x + (2k  + 2)y - 2 = 0[/*][/list][b][color=#000000]stabilire se é un fascio improprio o proprio.[/color][/b][br] [br][b][color=#000080]1-modo[/color][/b][br][color=#000000]Possiamo calcolare il valore del coefficiente angolare del fascio:[/color][br][list=1][*][color=#000000][math]m=-\frac{k+1}{2k-1}[/math] il coefficiente angolare dipende dal parametro k - [u][b]fascio proprio[/b][/u][br][/color][/*][*][color=#000000][math]m=-\frac{k+1}{2k+2}=-\frac{k+1}{2\left(k+1\right)}=-\frac{1}{2}[/math] il coefficiente angolare non dipende dal parametro k  - [u][b]fascio improprio[/b][/u][/color][/*][/list][b][color=#000080]2-modo[/color][/b][br][color=#000000]Scriviamo il fascio in forma esplicita:[/color][br][list=1][*][color=#000000][math]y=-\frac{k+1}{2k-1}x-\frac{k+2}{2k-1}[/math]come possiamo notare [math]m=-\frac{k+1}{2k-1}[/math] e [math]q=-\frac{k+2}{2k-1}[/math]    [u][b]fascio proprio[/b][/u][/color][/*][*][color=#000000][math]y=-\frac{k+1}{2\left(k+1\right)}x+\frac{2}{2\left(k+1\right)}[/math] come possiamo notare [math]m=\frac{1}{2}[/math][/color][color=#000000]e [math]q=\frac{1}{k+1}[/math][b]           [/b][u][b]fascio improprio[/b][/u][/color][/*][/list][/size]
– Annamaria De Robertis

4.2.

–

5.

Esercitazione

  • 1. Trova il valore del parametro
  • 2. Verifica

5.1.

Trova il valore del parametro

[size=150][b][color=#0000ff]Assegnato il fascio di rette di equazione [/color][/b][color=#0000ff][color=#000000](k + 1)x + (k - 1)y + 2k - 4 = 0[/color][/color][br][b][color=#0000ff]aiutandoti con l'animazione di Geogebra[/color][/b][/size]
[b][color=#0000ff] determina per quali valori del parametro k la retta del fascio:[/color][/b]
[b][color=#0000ff]1 - passa per l'origine degli assi[/color][/b]
[b][color=#0000ff]2 - è parallela all'asse delle ascisse[/color][/b]
[b][color=#0000ff]3 - è parallela all'asse delle ordinate[/color][/b]
[b][color=#0000ff]4 - passa per il punto P(1;-2)[/color][/b]
[b][color=#0000ff]5 - è parallela alla retta di equazione y = 2x + 3[/color][/b]
[b][color=#0000ff]6 - è perpendicolare alla retta di equazione y=(1/2)x[/color][/b]
[b][color=#0000ff]7 - forma un angolo acuto con la direzione positiva dell'asse x[/color][/b]
[color=#0000ff][b]8 - Per quali valori del parametro k le rette del fascio intersecano il segmento di estremi A(3, 6) e B(-2, -4)?[/b][/color][br][br]
– Annamaria De Robertis

5.2.

–

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