El cuadrilátero AKA'O (primero figura en la previa sección) es un paralelogramo. [br][br][b]Respuesta[/b]:[br][br]AK extendido es perpendicular a BC.[br][br]OA' es perpendicular a BC (o está en la misma recta que H). [br][br]Entonces OA' es paralela a AK. [br][br]Por lo tanto, [math]OA'=\frac{1}{2}AH=AK[/math], por el teorema, así que si 2 lados paralelos son congurnetes entonces es un paralelogramo.

En la siguiente figura, los puntos K, L, M bisecan sus arcos respectivos [math]EF[/math], [math]FD[/math], [math]DE[/math].

[b]Respuesta[/b]:[br][br][math]K[/math] biseca a [math]FE[/math] si [math]FK=KE[/math]. Podemos ver que ambos arcos están formados por [math]\angle FDK[/math] y [math]\angle KDE[/math], ambos inscritos. Además, si se toma un segmento [math]KD[/math] tendremos que este pasa por el ortocentro [math]H[/math]. Si visitamos al Teorema 1.61, este nos dice que [math]H[/math] será el centro de círculo inscrito de [math]\text{Δ}DEF[/math]. Entonces [math]KD[/math] bisecará a [math]\angle EDF[/math]. Entonces, [math]\angle FDK=\angle KDE[/math]. Por lo tanto, los arcos son iguales. [br][br]Un proceso similar se trabaja para [math]L[/math] con [math]LE[/math] y para [math]M[/math] con [math]MF[/math].

El circuncírculo de [math]\text{Δ}ABC[/math] es el círculo de nueve puntos de [math]\text{Δ}I_aI_bI_c[/math].

[b]Respuesta[/b]: [br][br]En este ejercicio basta con notar que [math]\text{Δ}ABC[/math] es el triángulo órtico de [math]\text{Δ}I_aI_bI_c[/math]. Por lo tanto, es el círculo de 9 puntos de [math]\text{Δ}I_aI_bI_c[/math]. [br][br]Otra alternativa para este ejercicio es notar que A, B y C son los pies de las alturas de [math]\text{Δ}I_aI_bI_c[/math], [math]\text{Δ}ABC[/math] es el [math]\text{Δ}[/math] órtico, y que [math]Z_a,Z_b,Z_c[/math] son los puntos medios de los segmentos de los vértices al ortocentro.

Sean tres círculos congruentes con un punto en común encontrarse nuevamente en tres puntos [math]A[/math], [math]B[/math] y [math]C[/math]. Entonces el radio común de los tres círculos dados es igual al circunradio de [math]\text{Δ}ABC[/math] y su punto común es el ortocentro.

El círculo de 9 puntos corta a los lados del triángulo en los ángulos [math]\left|B-C\right|,\left|C-A\right|,\left|A-B\right|[/math].

[b]Respuesta[/b]: [br][br]Observando la figura, tenemos que [math]AD\perp BC[/math] (por su altura). Como [math]DK[/math] es un segmento de [math]AD[/math], tenemos que [math]DK\perp BC[/math]. [br][br][math]A'K[/math] es el diámetro. Notemos que [math]\angle DKA'[/math] y [math]\angle HKN[/math] son iguales porque ambos abren al mismo arco [math]A'D[/math]. [br][br][math]AK[/math] y [math]AH[/math] son proporcionales 2:1, al igual que [math]HN[/math] y [math]HO[/math], por lo que [math]\text{Δ}HAO[/math] y [math]\text{Δ}HKN[/math] deben ser semejantes porque comparten [math]\angle H[/math] y los lados entre el ángulo son proporcionales. [br][br][math]\angle HKN=\angle HAO[/math] y por el cuarto ejercicio de la sección del triángulo órtico, tenemos que[br][br][math]\angle HAO=\left|B-C\right|[/math][br][br]Similarmente para [math]\left|C-A\right|[/math] y [math]\left|A-B\right|[/math]