Den Schnittpunkt mit der y-Achse kannst du bei quadratischen Funktionen genauso einfach ablesen, wie bei linearen Funktionen: indem du auf das [b]absolute Glied[/b] achtest.[br]Zur Erinnerung: Das absolute Glied ist in einem Term der Summand, der nicht mit einer Variablen verbunden ist. [br]Du kannst auch einfach x=0 einsetzen und das Ergebnis berechnen. Hier fällt jeder Faktor mit einem x einfach weg.[br][br]Beispiel: [br][math]f\left(x\right)=-2x^2+3x-7[/math] --> das absolute Glied ist -7, also ist -7 der y-Achsenabschnitt.[br]oder, du setzt x=0 ein:[br][math]f\left(0\right)=-2\cdot0^2+3\cdot0-7=-7[/math][br]Wie du siehst, kommt bei beiden Wegen dasselbe Ergebnis heraus![br][br]Da eine Funktion eine eindeutige Zuordnung ist (also jedes x [b]maximal ein[/b] y zugeordnet hat), kann sie auch nur [b]einen einzigen y-Achsenabschnitt[/b] haben![br][br]Gib in dem Graphen unten unterschiedliche quadratische Funktionen ein und drücke anschließend Enter, um den y-Achsenabschnitt anzeigen zu lassen! Denk daran, dass das , bei Geogebra mit dem . geschrieben werden muss. Also statt 0,5 musst du 0.5 schreiben.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse werden als [b]Nullstellen[/b] bezeichnet.[br]Alle Punkte, die auf der x-Achse liegen, besitzen den y-Wert y=0. y ist dasselbe wie f(x), also kannst du einfach die Bedingung[b] f(x)=0[/b] setzen.[br]Das bedeutet, dass du [b]die ganze Funktionsgleichung[/b] gleich 0 setzt und nun nach x auflösen musst.[br]Was du schon aus dem Kapitel lineare Funktionen kennst, wird hier nun etwas komplizierter, da du nicht mehr so einfach nach x auflösen kannst =([br][br]Je nach Form der Funktion gibt es unterschiedliche Strategien.[br]1) [math]f\left(x\right)=2x^2-18[/math][br]Hier siehst du eine Funktion, die [b]nur einen quadratischen Summanden[/b] und [b]ein absolutes Glied[/b] hat. Setze die Funktion gleich Null und löse einfach nach x auf, denn hier kann man die Buchstaben und Zahlen problemlos trennen.[br][math]f\left(x\right)=0[/math][br][math]\Longrightarrow0=2x^2-18[/math] [math]\mid+18[/math][br][math]\Longleftrightarrow18=2x^2[/math] [math]\mid:2[/math][br][math]\Longleftrightarrow9=x^2[/math] [math]\mid\pm\sqrt{ }[/math][br][math]\Longleftrightarrow x_1=3;x_2=-3[/math] vergiss nicht, dass du die Plusminus Wurzel ziehen musst![br][br]Die Nullstellen sind also N[sub]1[/sub](3|0) und N[sub]2[/sub](-3|0).[br][br]2) [math]f\left(x\right)=2x^2-8x-10[/math][br]Diese Funktion hat sowohl x[sup]2[/sup],x als auch ein absolutes Glied. Das heißt, hier musst du die [b]pq-Formel[/b] anwenden, nachdem du die Funktion vorbereitest hast! x[sup]2 [/sup]darf keinen Vorfaktor haben und links vom Gleichheitszeichen muss 0 stehen![br][math]f\left(x\right)=0[/math][br][math]\Longrightarrow0=2x^2-8x-10[/math] [math]\mid:2[/math][br][math]\Longleftrightarrow0=x^2-4x-5[/math] [math]\mid pq-Formel[/math][br][math]\Longrightarrow x_{1,2}=2\pm\sqrt{2^2+5}=2\pm\sqrt{4+5}=2\pm\sqrt{9}=2\pm3[/math][br][math]\Longrightarrow x_1=5,x_2=-1[/math][br]Die Nullstellen sind also N[sub]1[/sub](5|0) und N[sub]2[/sub](-1|0).[br][br][br][br]3) [math]f\left(x\right)=2x^2-4x[/math] [b]Achtung: Fortgeschrittene![/b][br]Hier gibt es nur Summanden mit x! Denk noch einmal an das Thema [b]Ausklammern[/b]. Beim Ausklammern holst du aus jedem Term denselben Faktor heraus. Der gemeinsame Faktor in dieser Funktion ist das x![br]Klammerst du das x aus, sieht der Term so aus:[br][math]f\left(x\right)=x\cdot\left(2x-4\right)[/math] Denk daran, den Faktor aus JEDEM Summanden zu ziehen![br]Jetzt kannst du den sogenannten [b]Satz vom Nullprodukt [/b]verwenden! Dieser besagt:[br] [br][table][tr][td] [b] Satz vom Nullprodukt:[br]"Ist ein Faktor Null, ergibt das ganze Produkt Null!"[/b][/td][/tr][/table][br]Es gibt also zwei Lösungen: entweder der[b] erste Faktor [/b]ist Null, oder der[b] zweite Faktor[/b] ist Null![br]also gilt, f(x)=0 ist genau dann, wenn[br]x=0 oder 2x-4=0, da dies die beiden Faktoren sind. Jetzt musst du nur noch den zweiten Faktor nach x auflösen. [br]x=0 oder x=2 ist dann die fertige Lösung! --> Die Nullstellen sind also N[sub]1[/sub](0|0) und N[sub]2[/sub](2|0).[br]

Überprüfe deine Aufgaben mithilfe des Nullstellentesters. Gib hierfür die Funktion in das Eingabefeld ein und drücke Enter. Achte darauf, dass das Komma in Geogebra als Punkt geschrieben werden musst.[br]Also 2.3 statt 2,3.