Matriz é uma tabela de números formada por m linhas e n colunas. Dizemos que essa matriz tem ordem mxn (lê-se: m por n), sendo m [math]\ge1[/math] e n[math]\ge1[/math].

Matrizes são organizações de informações numéricas em uma tabela retangular formada por linhas e colunas.[br][br] Essa organização em uma tabela facilita que se possa efetuar vários cálculos simultâneos com as informações contidas na matriz.[br][br]Definição de matrizes:[br] Toda matriz tem o formato [i]m x n[/i] ([i]leia-se: m por n, com m e n ∈ N*[/i]), onde m é o número de linhas e n o número de colunas.[br]Representação de matrizes.[br] Existem diversas maneiras de representarmos matrizes, veja quais são:[br][br][list][*]Colchetes: [ ][/*][*]Parênteses: ( )[/*][*]Barras Simples: | |[/*][*]Barras Duplas: || ||[/*][/list][br]Essas são as representações mais comuns que encontramos na literatura.[br]Exemplos:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/representacao-de-matrizes.png[/img][br][br]Elementos de uma matrizSeja a matriz genérica Amxn, isto é, m representa as linhas e n o número de colunas. Então, temos:[br][br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-generica.png[/img][br][br]Dessa forma, os elementos da matriz A são indicados por aij, onde o i representa o índice da linha e j representa o índice da coluna para o elemento em questão. Assim, para localizarmos um elemento na coluna, procuramos o número da linha e da coluna, esses números são os índices i e j.[br]Pela imagem acima, veja que as linhas são numeradas de cima para baixo, enquanto as colunas são numeradas da esquerda para a direita.[br][br]Exemplos:[br][list][*]a11 representa o elemento da linha 1 e coluna 1.[/*][*]a32 representa o elemento da linha 3 e coluna 2.[/*][*]a22 representa o elemento da linha 2 e coluna 2.[/*][*]amn representa o elemento da linha m e coluna n.[/*][/list]Seja a matriz[img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-elementos.png[/img][br]assim:[br][list][*]a11 representa o elemento 1.[/*][*]a12 representa o elemento 4.[/*][*]a13 representa o elemento 0.[/*][*]a21 representa o elemento -2.[/*][*]a22 representa o elemento 4.[/*][*]a23 representa o elemento 3.[/*][/list][br]Uma matriz também pode ser representada por uma forma abreviada de forma que possamos escrevê-la facilmente.[br]Exemplo:[br]Considere a matriz M = [aij]2×3, tal que aij = i + j. Escreva a matriz M.[br]Primeiramente vamos verificar as informações passadas. Observe que teremos uma matriz retangular, com 2 linhas e 3 colunas. Os elementos da matriz é a soma dos índices (posição) das linhas e colunas. Assim:[br]Escrevendo os elementos:[br][list][*]a11 = 1 + 1 = 2.[/*][*]a12 = 1 + 2 = 3.[/*][*]a13 = 1 + 3 = 4.[/*][*]a21 = 2 + 1 = 3.[/*][*]a22 = 2 + 2 = 4.[/*][*]a23 = 2 + 3 = 5.[/*][/list]Então a matriz M é:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-m.png[/img][br]Matrizes EspeciaisVamos conhecer agora alguns tipos de matrizes especiais que é muito importante saber.[br][br]Matriz LinhaÉ uma matriz que possui somente uma linha (ordem 1 x n)[br]Exemplo:[br][br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-linha.png[/img][br][br]Matriz ColunaÉ uma matriz que possui uma única coluna (ordem m x 1)[br]Exemplo:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-coluna.png[/img][br][br]Matriz NulaÉ uma matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero.[br]Exemplo:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-nula.png[/img][br][br]Matriz QuadradaÉ uma matriz em que o número de colunas é igual ao número de linhas. Sendo que uma matriz quadrada de ordem mxn podemos dizer que ela tem ordem n[br]Exemplo:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-quadrada.png[/img][br][br]

Essa é uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, ou simplesmente de ordem 3. Numa matriz quadrada de ordem n, temos que os elementos aij com i = j formam a diagonal principal, enquanto os elementos i + j = n + 1, formam a diagonal secundária. Veja:[br][br][br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-quadrada-diagonal.png[/img][br]Elementos da diagonal principal da matriz A.[br][br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-quadrada-diagonal-principal.png[/img][br][br]Elementos da diagonal secundária da matriz A.[br][br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-quadrada-diagonal-secundaria.png[/img][br][br]Observação:[br]Quando uma matriz não é quadrada chamamo-la matriz retangular.[br]Matriz Diagonal[br]É uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos.[br][br]Exemplo:[img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-diagonal.png[/img][br]Matriz Identidade:[br]É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos e os elementos da diagonal principal são 1. É representada por In, matriz quadrada de ordem n.[br]Exemplos[br]I2 = Matriz identidade de ondem 2[br][br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-identidade-2.png[/img][br]I3 = Matriz identidade de ondem 3[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-identidade-3.png[/img][br][br]Leia mais sobre [url=https://matematicabasica.net/matriz-identidade/]matriz identidade[/url].[br]Matriz Oposta:[br] É uma matriz obtida trocando os sinais dos elementos da matriz. Se chamamos uma matriz de A, então a matriz oposta é -A.[br]Exemplo:[br]Considere a matriz A a seguir:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-a.png[/img][br]Então a matriz oposta -A é:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-oposta.png[/img][br]Matriz Transposta:[br]Uma [url=https://matematicabasica.net/matriz-transposta/]matriz transposta[/url] é uma matriz resultante da troca ordenadamente de linhas pelas colunas de outra matriz. Se temos uma matriz A, então a transposta de A tem notação At.[br]Exemplo:[br]Seja a matriz A = [aij]mxn, a matriz transposta de A é At = [aij]nxm.[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-transposta.png[/img][br]Propriedade da transposta:[br]Considere as matrizes A e B, e a um número real qualquer, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:[br][list][*](A + B)t = At + Bt[/*][*](a.A)t = a.At[/*][*](At)t = A[/*][*](A.B)t = Bt.At[/*][*]Uma matriz é simétrica, se, e somente se, ela seja igual à sua transposta: A = At.[/*][*]Uma matriz é antissimétrica, se, e somente se, ela seja igual à oposta da sua transposta: A = -At.[/*][*]Uma matriz quadrada é ortogonal, se, e somente se, a sua transposta seja igual a sua inversa: At = A-1.[/*][/list][br]

Aplicar as operações da aritmética para resolver problemas com matrizes é importante e vamos ver cada um delas a seguir:[br]Igualdade de MatrizesDuas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais, se, e somente se, todos os elementos que correspondem a B e a A sejam iguais. Ou seja, A = B ⇔ aij = bij.[br][br]Exemplo:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/igualdade-de-matrizes.png[/img][br][br]Adição de Matrizes:[br]Para fazer a [url=https://matematicabasica.net/adicao-e-subtracao-de-matrizes/]adição de duas matrizes[/url], devemos somar todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, somar linha com linha e coluna com coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem.[br]Exemplo:[br]Sejam A e B duas matrizes de mesma mxn. Somamos A e B, e escrevemos A + B, obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida somando os elementos correspondentes de A e B. Veja:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/adicao-de-matriz.png[/img][br][br]Propriedades da adição de matrizes:[br]Considerando A, B e C matrizes de mesma ordem e N uma matriz nula, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:[br][br][list][*]Comutativa: A + B = B + A[/*][*]Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)[/*][*]Elemento neutro: A + N = N + A = A[/*][*]Elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = N[/*][*](A + B)t = At + Bt[/*][/list][br]Subtração de MatrizesPara fazer a [url=https://matematicabasica.net/adicao-e-subtracao-de-matrizes/]subtração de duas matrizes[/url], devemos subtrair todos os elementos correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, subtrair linha com linha e coluna com coluna. As matrizes devem ter a mesma ordem.[br]Exemplo:[br]Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem mxn. Fazemos a diferença de A e B, e escrevemos A – B, obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida subtraindo os elementos correspondentes de A e B. Veja:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/subtracao-de-matrizes-1.png[/img][br][br]Multiplicação de um número real por uma MatrizSeja Amxn uma matriz, e a um número real. O produto de a por A resulta em uma matriz Bmxn, de forma que multiplicamos o número real a por cada elemento de A.[br]Exemplo:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/multiplicacao-de-matrizes.png[/img][br][br]

Considerando A e B matrizes de mesma ordem e a e b números reais, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:[br][list=1][*]1 . A = A[/*][*](-1) x A = -A[/*][*]a . 0 = 0[/*][*]0 . Amxn = 0mxn[/*][*]a . (b . Amxn) = (a . b) . Amxn[/*][*]a . (A + B) = a . A + a . B[/*][*](a + b) . A = a . A + b . A[/*][/list]Multiplicação entre MatrizesConsiderem as matrizes Amxn e Bnxp. A multiplicação das matrizes A e B, nesta ordem, resulta em Cmxp, de forma que C seja obtida pela soma dos produtos dos elementos da linha i de A e da coluna j de B.[br]Exemplo:[br]Considerem as matrizes A e B, então A x B é:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/multiplicacao-de-matriz-por-matriz.png[/img]Observações importantes:[br][list=1][*]A multiplicação de matriz somente é possível se o número de colunas em uma matriz for igual ao número de linhas da outra matriz.[/*][*]A matriz resultante C tem o mesmo número de linha da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz.[/*][/list]

O [url=https://matematicabasica.net/matrizes-e-determinantes/]determinante de uma matriz[/url] A é um número real indicado por det A.[br][br]Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3Determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento.A = [a] ⇒ det A = a[br]Determinante de uma matriz de ordem 2[br][br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matrizes-determinantes.png[/img][br][br]Determinante de uma matriz de ordem 3[br][br]Para matrizes de ordem 3, deve-se aplicar a [url=https://matematicabasica.net/matrizes-e-determinantes/]regra de Sarrus[/url] para calcular o determinante. Este método só se aplica para matrizes de ordem 3.[br]Considere a matriz A quadrada de ordem 3:[br][br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-a-regra-de-sarrus.png[/img]Copiamos a 1ª e a 2ª coluna para a direita da matriz:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-a-regra-de-sarrus-2.png[/img][br][br]Após isso, multiplicamos os termos entre si, seguindo as setas abaixo, colocando o sinal como especificado na imagem:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-a-regra-de-sarrus-3.png[/img][br][br]det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21. a33[br]A ideia é multiplicar os elementos no sentido das setas e colocar os respectivos sinais de adição e subtração como está especificado.[br][br]Determinante de matrizes de ordem superior a 3Para matrizes de ordem superior a 3, devemos utilizar o teorema de Laplace. Antes de falarmos sobre o teorema de Laplace é preciso entendermos o que é cofator ou complemento algébrico (Mij).[br][br]Cofator ou complemento algébrico (Mij)Para calcularmos o cofator ou complemento algébrico de um elemento aij, em uma matriz M de ordem n, com n > 1, devemos utilizar a seguinte fórmula:[br]Mij = (-1)i + j . Dij[br][br]Onde i e j são os índices do elemento em questão, e Dij representa o determinante da matriz resultante com a eliminação das linhas e colunas para o elemento escolhido.[br][br]Exemplo:[br]Vamos calcular o cofator M23 para a matriz abaixo:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/cofator.png[/img][br]Então, escolhemos o elemento M23 e removemos a linha e coluna em relação a ele. Temos:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/cofator-2.png[/img][br]Agora aplicaremos a fórmula definida acima. Assim:[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-12.png[/img]Aplicamos a fórmula e calculamos o determinante D23 para a matriz resultante, depois que excluímos a linha e coluna para o elemento da posição M23.[br][br]Teorema de Laplace[br][br]O teorema de Laplace pode ser aplicado em matrizes de ordem n, com n > 1. Mas como vimos nos tópicos anteriores, existem regras mais adequadas para cálculos dos determinantes de matrizes de ordem menores que 4.[br]Para facilitar o cálculo utilizando o teorema de Laplace, devemos escolher uma linha ou coluna com a maior quantidade de zeros possíveis, pois isso ajuda na hora do cálculo. Isto é, teremos menos trabalhos para fazer a conta.[br]

Uma matriz identidade ou unidade é uma matriz que apresenta em sua diagonal principal o elemento 1 e o restante dos elementos são formados por zeros. É representada pela letra maiúscula In, em que n é a ondem da [url=https://matematicabasica.net/matrizes/]matriz[/url].[br][br]A matriz identidade é uma matriz quadrada e também é uma matriz diagonal. Uma matriz é diagonal quando os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos. E uma matriz é quadrada quando o número de linhas e colunas são iguais.[br][br]DefiniçãoA matriz In = [aij]n,ni,j = 1[br]Onde aij = { 1, se i = j e 0, se i ≠ j[br][br]Exemplo:[br]Matriz de ordem 1: I1 = [1][br][br]Matriz de ordem 2: I2 =[br][img width=105,height=100]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-identidade-2-1.png.webp[/img][br][br]Matriz de ordem 3: I3 =[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-identidade-3.png[/img][br][br]Matriz de ordem 4: I4 =[br][img]https://matematicabasica.net/wp-content/uploads/2019/02/matriz-identidade-4.png[/img][br][br][br]Bem fácil identificar esse tipo de matriz. Pelos exemplos acima, acredito que o leitor não mais esquece que esse tipo de matriz contém a diagonal formada por números 1 e o restante por 0.[br]Propriedades[list][*]Uma matriz identidade de ordem n é representada por In. Se n = 2, então chamamos a matriz identidade de ordem 2.[/*][*]Uma multiplicação de uma matriz A qualquer pela matriz identidade In, tem como resultado a matriz A, ou seja: A . In = In . A = A[/*][/list]Para que serve a matriz identidade?Utilizamos as [url=https://matematicabasica.net/matrizes/]matrizes[/url] identidades para resolvermos problemas que envolvem [url=https://matematicabasica.net/sistema-de-equacoes/]equações matriciais[/url]. A operação de divisão entre matrizes não é possível, dessa forma temos que utilizar alguns conceitos matriciais.[br][list][*]A [url=https://matematicabasica.net/matriz-inversa/]inversa[/url] de uma matriz A é A-1;[/*][*]Se multiplicarmos a matriz A pela sua inversa, A-1, caso exista, resulta na matriz In.[/*][/list]Para encontrar a inversa de uma matriz A, utilizamos uma matriz de ordem In para essa finalidade.[br]Para entender melhor como achar a inversa de uma matriz, leia o nosso artigo sobre o assunto [url=https://matematicabasica.net/matriz-inversa/]aqui[/url].