Ähnlichkeit und Strahlensätze

D. Bade, Sep 20, 2021

Ähnlichkeit und Strahlensätze

Table of Contents

  1. Ähnlichkeit
    1. Ähnlichkeit von Figuren untersuchen
    2. Ähnliche Vielecke
    3. Ähnliche Figuren identifizieren
    4. Welche Dreiecke sind ähnlich?
  2. Zentrische Streckung
    1. Zentrische Streckung
    2. Fische (Zentrische Streckung)
  3. Strahlensätze
    1. Strahlensätze
    2. Strahlensätze üben
  4. Weiterführende Aufgaben
    1. Anwendung der Strahlensätze
    2. Knobeln mit Strahlensätzen
    3. Das rätselhafte Dreieck
  5. Beweise durch Ähnlichkeit
    1. Beweise mithilfe ähnlicher Dreiecke
    2. Teilverhältnis Winkelhalbierende
    3. Verhältnis der Höhen im Dreieck
    4. Satz von Ceva
    5. Der Sehnensatz
    6. Der Sekantensatz
    7. Sekanten-Tangentensatz
    8. Teilverhältnis der Seitenhalbierenden im Dreieck

1.

Ähnlichkeit

Im ersten Kapitel lernst du die Grundlagen des mathematischen Begriffs [b]Ähnlichkeit[/b] kennen. Du erfährst, dass Figuren ganz bestimmte Eigenschaften besitzen müssen, damit sie zueinander ähnlich sind.

  • 1. Ähnlichkeit von Figuren untersuchen
  • 2. Ähnliche Vielecke
  • 3. Ähnliche Figuren identifizieren
  • 4. Welche Dreiecke sind ähnlich?

1.1.

Ähnlichkeit von Figuren untersuchen

Zeige, dass die beiden Figuren ähnlich zueinander sind, indem du gleichfarbige Punkte übereinander legst. Dabei musst du ggf. auch die Schieberegler verwenden.
Zeige, dass die beiden Figuren [b]nicht[/b] ähnlich zueinander sind, indem du gleichfarbige Punkte übereinander legst. Dabei musst du ggf. auch die Schieberegler verwenden.
Überprüfe, ob die Figuren im folgenden Applet ähnlich zu einander sind.
Beschreibe, wie man überprüfen kann, ob zwei Figuren zueinander[i] ähnlich [/i]sind.
– D. Bade

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

Zentrische Streckung

In diesem Kapitel lernst du eine spezielle Ähnlichkeitsabbildung kennen: die [b]Zentrische Streckung[/b]. Im ersten Applet kannst du anhand einer Animation die einzelnen Konstruktionsschritte nachvollziehen. Außerdem kannst du einige Eigenschaften von Ähnlichkeitsabbildungen untersuchen. Im zweiten Applet untersuchst du Eigenschaften zentrischer Streckungen für beliebige (positive und negative) Streckfaktoren.

  • 1. Zentrische Streckung
  • 2. Fische (Zentrische Streckung)

2.1.

Zentrische Streckung

Starte die Animation und beobachte, wie man eine zentrische Streckung für einige ganzzahlige positive Streckfaktoren k durchführt.[br]Verändere anschließend die Lage der Punkte A, B,C und D sowie des Streckzentrums Z. Untersuche dabei die Eigenschaften von zentrischen Streckungen.
Beschreibe die Auswirkung auf die zentrische Streckung, wenn sich das Streckzentrum Z im Inneren der Figur ABCD befindet.
Beschreibe die Auswirkung auf die Figur, wenn sich das Streckzentrum auf einer Kante bzw. in einer Ecke der Figur befindet.
Beschreibe die Veränderung des Flächeninhalts einer Figur bei einer zentrischen Streckung mit dem Faktor k=2 (k=3, k=4). Verändere dafür die Lage der Punkte A,B,C und D so, dass du ein Quadrat oder ein Rechteck erhältst.
Begründe, dass die von dir gerade aufgestellte Vermutung zur Veränderung des Flächeninhalts auch für Dreiecke gilt und dass man sie daher auch auf beliebige andere Vielecke fortsetzen kann.
– D. Bade

2.2.

–

3.

Strahlensätze

Die Eigenschaften von Ähnlichkeitsabbildungen im Allgemeinen und zentrischen Streckungen im Besonderen führen unmittelbar zu den sogenannten [b]Strahlensätzen[/b]. Damit lassen sich Entfernungen an schwer zugänglichen Orten berechnen.

  • 1. Strahlensätze
  • 2. Strahlensätze üben

3.1.

Strahlensätze

Folge den Anweisungen im Applet.[br]Verändere auch die Position der (ziehbaren) Punkte.[br]Schreibe anschließend den ersten und den zweiten Strahlensatz in dein Heft ab. Fertige dabei auch eine Zeichnung der [i]Strahlensatzfigur[/i] an.
– D. Bade

3.2.

–

4.

Weiterführende Aufgaben

Diese Aufgaben sind teilweise knifflig. Lass dich nicht entmutigen!

  • 1. Anwendung der Strahlensätze
  • 2. Knobeln mit Strahlensätzen
  • 3. Das rätselhafte Dreieck

4.1.

Anwendung der Strahlensätze

Berechne die mit x markierte Breite des Sees. Alle Angaben sind in Meter. Die Geraden g und h sind parallel zu einander.[br]Gib das Ergebnis auf die zweite Nachkommastelle gerundet (ohne Einheit) an.[br]
– D. Bade

4.2.

–

4.3.

–

5.

Beweise durch Ähnlichkeit

In diesem Kapitel lernst du einige Sätze der Geometrie kennen. Mithilfe der Ähnlichkeit von Dreiecken kannst du sie beweisen.

  • 1. Beweise mithilfe ähnlicher Dreiecke
  • 2. Teilverhältnis Winkelhalbierende
  • 3. Verhältnis der Höhen im Dreieck
  • 4. Satz von Ceva
  • 5. Der Sehnensatz
  • 6. Der Sekantensatz
  • 7. Sekanten-Tangentensatz
  • 8. Teilverhältnis der Seitenhalbierenden im Dreieck

5.1.

Beweise mithilfe ähnlicher Dreiecke

Betrachte das Applet und ziehe an den Punkten des Dreiecks. Formuliere eine Aussage und beweise sie anschließend.[br]Du kannst dir auch Hinweise anzeigen lassen - aber versuche es zunächst alleine!
– D. Bade

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

Information