Le [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_cyclotomique]polynôme cyclotomique[/url] [math]\Phi_n[/math] est le polynôme unitaire dont les racines sont les racines primitives n-èmes de l'unité.[br][br][size=150][br][math]\Phi_n(X)=\prod_{\zeta\in \mathbb A_n}(X-\zeta)[/math][/size][br][br]Tout d'abord, les racines n-èmes sont toutes de la forme [math]\forall\zeta\in \mathbb U_n, \exists k\in\mathbb Z, \zeta=e^{\frac{2ik\pi}n}[/math]. Il y en a exactement n différentes, autour du cercle unité et k peut-être choisi dans [math]\mathbb Z/n\mathbb Z[/math]. Le polynôme qui les annule toutes en même temps est donc [math]X^n-1[/math], en effet, il est de degré n et il annule chacune des n racines n-èmes de l'unité.[br][br]À part ±1 qui sont les seules racines réelles, les racines de l'unité viennent par paires conjuguées l'une de l'autre, une de partie imaginaire positive, l'autre négative, symétriques par rapport à l'axe des réels. Ce qui fait que, dans [math]X^n-1[/math], on peut les coupler et faire apparaître des facteurs irréductibles réels [size=150][br][math](X-e^{\frac{2ik\pi}n})(X-e^{\frac{-2ik\pi}n})=X^2-2\cos \frac{2k\pi}n X + 1[/math][/size][br]car [math]e^{\frac{2ik\pi}n}+e^{\frac{-2ik\pi}n}=2\cos \frac{2k\pi}n [/math] et la factorisation en polynômes irréductibles réels est, en fonction de la parité:[br][br][math]\Phi_{2n}(X)=(X-1)(X+1)\prod_{k=1}^{n-1}(X^2-2\cos \frac{k\pi}n X+1),[/math][br][br][math]\Phi_{2n+1}(X)=(X-1)\prod_{k=1}^n(X^2-2\cos \frac{2k\pi}{2n+1} X+1).[/math][br][br]Comme chaque racine n-ème [math]\zeta\in\mathbb U_n[/math] a son propre ordre [math]d\in\mathbb N^*[/math] tel que [math]d|n[/math], et [math]\zeta\in\mathbb A_d[/math] est une racine primitive d-ème de l'unité pour un diviseur [math]d|n[/math]. Elle est donc annulée par [math]\Phi_d[/math]. Réciproquement, toute racine primitive d-ème de l'unité est également une racine n-ème de l'unité étant donné que [math]\zeta\in\mathbb A_d\Rightarrow \zeta^d=1\Rightarrow \forall k\in\mathbb N^*, \zeta^{kd}=(\zeta^d)^k=1[/math], en particulier pour [math]k=n\div d[/math], donc [math]\zeta^n=1[/math] et [math]\mathbb A_d\subset \mathbb U_n[/math]. Donc le polynôme cyclotomique [math]\Phi_d|X^n-1[/math].[br][br]Clairement, une racine n-ème a un unique ordre, [math]\mathbb A_d\cap \mathbb A_e=\emptyset[/math] si d≠e. Par conséquent [math]\mathbb U_n=\sqcup\limits{d|n}\mathbb A_d[/math].[br][br][br]Comme il y a autant de racines primitives n-èmes que de nombres inversibles dans [math]\mathbb Z/n\mathbb Z[/math], c'est-à-dire encore que de nombres premiers avec n dans [math]\llbracket 1,n\rrbracket[/math], le degré de [math]\Phi_n[/math] est donc [math]\varphi(n)[/math], la [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Indicatrice_d%27Euler]fonction indicatrice d'Euler[/url].[br][br][br]En procédant de même pour tous les diviseurs de n, on obtient la factorisation en irréductibles dans [math]\mathbb Q[X][/math] de [math]X^n-1[/math] est [br][br][size=150][br][math]X^n-1=\prod_{\zeta\in \mathbb U_n}(X-\zeta)=\prod_{d|n}\prod_{\zeta\in \mathbb A_d}(X-\zeta)=\prod_{d|n}\Phi_d[/math][/size][br][br][br]