"Seja um cubo de borda uma unidade e p sua projeção ortogonal sobre um plano". Qual é o valor máximo de p(C)?"

O problema acima aparece na edição 180 da revista "tangente" (janeiro-fevereiro de 2018), cujo tema é "Espionagem: matemática, em toda parte!".[br][br]Jean-Michel Sarlat dá uma solução:[br][url=http://ww2.ac-poitiers.fr/math/IMG/pdf/cg97c.pdf]http://ww2.ac-poitiers.fr/math/IMG/pdf/cg97c.pdf[/url]

A ilustração da solução deste problema é feita considerando um número [math]t[/math], onde [math]0\le t\le\frac{\eta}{2}[/math], um altura [math]h[/math] e os pontos [math]A[/math], [math]B[/math] e [math]C[/math] com as coordenadas[br] [math]A=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,h\right)[/math], [math]B=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cos\left(t\right),h+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot sen\left(t\right)\right)[/math], [math]C=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},0,h\right)[/math] e [math]D=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot cos\left(\pi+t\right),h+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot sen\left(\pi+t\right)\right)[/math]. [br][list][*]A partir desses pontos determinamos os pontos , , e com retas perpendiculares ao plano que passa por , e e cuja distância a esse plano seja. Assim, temos o cubo [math]ABCDEFGH[/math][/*][*]Determinamos a projeção de cada ponto no plano [math]z=0[/math]. A projeção dos pontos [math]F[/math] e [math]D[/math] está no interior do polígono formado pelas projeções dos pontos [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math], [math]E[/math], [math]G[/math] e [math]H[/math].[/*][*]Consideramos o triângulo [math]ACH[/math] para determinar o triângulo equilátero de área máxima no plano [math]z=0[/math]. O baricentro desse triângulo é o ponto [math]P[/math] com coordenadas [math]P=\left(0,-\frac{1}{\sqrt{6}},0\right)[/math].[/*][*]As coorodenadas das projeções dos pontos [math]D[/math] e [math]F[/math] no plano [math]z=0[/math] coincidem comas coordenadas do ponto quando [math]t=arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx0.96[/math].[br][/*][/list]

A área máxima da projeção do cubo no plano é [math]\sqrt{3}[/math] e essa solução não depende da altura [math]h[/math].

Verifique que a solução é obtida quando [math]t\approx0.96[/math]