[size=150][b][size=150][color=#1155cc]Wie bestimmt man die Steigung eines Funktionsgraphs an einer Stelle x[sub]0[/sub]?[br][/color][/size][/b][color=#333333][size=100]Es soll die Steigung des Funktionsgraphs der Weg-Zeit-Funktion [math]f\left(x\right)=-0,3x^3+4,8x^2[/math] des Gepards an einer Stelle [/size][/color][size=100][color=#cc0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color][color=#333333] bestimmt und untersucht werden, was das mit der (lokalen) Änderungsrate zu tun hat. [br][/color][/size][/size]Wenn der Graph einer Funktion keine Gerade ist, dann ändert sich die Steigung. Es ist deshalb interessant zu erforschen, wie man die Steigung eines beliebigen Funktionsgraphen an einer interessierenden Stelle [color=#cc0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color] bestimmen kann. [br][br][b][color=#1155cc][b][size=150][color=#cc0000]||[/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#cc0000]||[/color][color=#1155cc] [size=100]Hinweis zum obigen Applet[/size][/color][/size][/b][br][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b][/color][/b] Wenn man oben in der Mitte des Applets auf [img]https://juergen-roth.de/images/icons/jr/Schaltflaeche_neu_laden.png[/img] klickt, wird [br][b][color=#1155cc][b][size=150][color=#cc0000]|| [/color][/size][/b][/color][/b] das Applet auf seinen Ausgangszustand zurückgesetzt.[br][b][color=#1155cc][b][size=150][color=#cc0000]||[/color][/size][/b][/color][/b]

[b][color=#1155cc]Aufgaben[br](1)[/color][/b] [br]Im Applet ist Funktionsgraphs der Weg-Zeit-Funktion [math]f\left(x\right)=-0,3x^3+4,8x^2[/math] des Gepards dargestellt.[br]Klickt den [b]Auswahlknopf "Zuordnung"[/b] an. Dadurch werden [color=#38761d][b]gestrichelte grüne Linien[/b][/color] sichtbar, die zeigen, dass dem Wert [color=#cc0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color] der Funktionswert [b][color=#1155cc]f(x[sub]0[/sub])[/color][/b] und dem Wert [color=#cc0000][b]x[/b][/color] der Funktionswert [b][color=#1155cc]f(x)[/color][/b] zugeordnet ist.[br][br][b][color=#1155cc](2)[/color][/b] [br]Klickt auf den [b]Auswahlknopf "Absolute Änderung"[/b] sowie auf den [b]Auswahlknopf "Änderungsrate (relative Änderung)"[/b], verändere anschließend die Lage von [color=#cc0000][b]x[sub]2[/sub][/b][/color] und beobachte dabei den Wert der Änderungsrate. [br]Notiert was euch im Vergleich zur linearen Funktion aus dem [b]Arbeitsblatt M1 II.2[/b] auffällt und begründet schriftlich, warum das so ist.[br][br][b][color=#1155cc](3)[/color][/b] [br]Beim angezeigten Funktionsgraph handelt es sich um keine Gerade, sondern um eine gekrümmte Kurve. [br]Überlegt, wie man bei einem gekrümmten Funktionsgraph die [b]Steigung an einer Stelle[/b] [color=#cc0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color] ablesen könnte. Haltet eure Überlegungen schriftlich fest.[br][br][b][color=#1155cc](4)[/color][/b] [br]Klickt den [b]Auswahlknopf "[color=#9900ff]Tangente[/color]"[/b] an. Dadurch wird die Tangente [color=#999999](also eine Gerade, die den Graph an der interessierenden Stelle berührt)[/color] an den Graphen der Funktion [b]f[/b] an der Stelle [color=#cc0000][b]x[sub]1[/sub][/b][/color] eingezeichnet. [br]Betrachtet die Tangente und überlegt ob und wenn ja was diese mit der Steigung des Graphen von [b]f[/b] an der Stelle [color=#cc0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color] zu tun hat. [br]Notiert eure Überlegungen.[br][br][b][color=#1155cc](5)[/color][/b] [br]Um eine Gerade eindeutig festzulegen, benötigt man zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Bei der [b][color=#9900ff]Tangente[/color][/b] an den Graph der Funktion [b]f[/b] an der Stelle [color=#cc0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color] kennen wir aber nur den Berührpunkt, der die Koordinaten ([b][color=#cc0000]x[sub]0[/sub][/color][/b], [b][color=#1155cc]f(x[sub]0[/sub])[/color][/b]) hat. [br]Mit den beiden Punkten ([b][color=#cc0000]x[sub]0[/sub][/color][/b], [b][color=#1155cc]f(x[sub]0[/sub])[/color][/b]) und ([b][color=#cc0000]x[/color][/b], [b][color=#1155cc]f(x)[/color][/b]) auf dem Funktionsgraph, können wir dagegen eine Gerade eindeutig bestimmen, die eine [color=#38761d][b]Sekante[/b][/color] [color=#999999](also eine Gerade, die den Graph in zwei Punkten schneidet)[/color] des Funktionsgraphs ist und durch den Punkt ([b][color=#cc0000]x[sub]0[/sub][/color][/b], [b][color=#1155cc]f(x[sub]0[/sub])[/color][/b]) verläuft. [br]Lasst die Sekante durch Klicken auf den [b]Auswahlknopf "[color=#38761d]Sekante[/color]"[/b] anzeigen.[br][br][b][color=#1155cc](6)[/color][/b] [br]Zieht am Punkt [color=#cc0000][b]x[/b][/color] auf der x-Achse und beobachtet, was dabei mit der [color=#38761d][b]Sekante[/b][/color] im Vergleich zur [b][color=#9900ff]Tangente[/color][/b] durch den Punkt ([color=#cc0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color], [b][color=#1155cc]f(x[sub]0[/sub])[/color][/b]) passiert. [br]Notiert eure Beobachtungen.[br][br][b][color=#1155cc](7)[/color][/b] [br]Schaltet die Tangente durch Klicken auf den [b]Auswahlknopf "[color=#9900ff]Tangente[/color]"[/b] aus. [br]Zieht den Punkt [color=#cc0000][b]x[/b][/color] genau auf den Punkt [color=#cc0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color]. Beobachtet genau was dabei passiert. [br]Notiert eure Beobachtungen und gebt eine Erklärung dafür an.[br][br][b][color=#1155cc](8)[/color][/b] [br]Überlegt auf der Grundlage eurer Beobachtungen aus Aufgabe [b][color=#1155cc](6)[/color][/b] wie man mit Hilfe der Steigung der [color=#38761d][b]Sekante[/b][/color] die Steigung der [b][color=#9900ff]Tangente[/color][/b] durch den Punkt ([color=#cc0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color], [b][color=#1155cc]f(x[sub]0[/sub])[/color][/b]) annähern kann. [br]Notiert eure Überlegungen.[br][br][b][color=#1155cc](9)[/color][/b] [br]Bewegt den Punkt [color=#cc0000][b]x[/b][/color] auf der x-Achse langsam in Richtung [color=#cc0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color] und beobachtet dabei den Wert der Änderungsrate, also der Sekantensteigung. [br]Führt die Annäherung von [color=#cc0000][b]x[/b][/color] an [color=#cc0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color] sowohl von rechts als auch von links durch. [br]Notiert eure Beobachtungen.[br][br][b][color=#1155cc](10)[/color][/b] [br]Notiert eine Vermutung für den Zahlenwert der Steigung der [b][color=#9900ff]Tangente[/color][/b] durch den Punkt ([color=#cc0000][b]x[sub]0[/sub][/b][/color], [b][color=#1155cc]f(x[sub]0[/sub])[/color][/b]).