Una parte importante delle proprietà di una circonferenza riguardano gli angoli che si possono costruire su di essa e le loro proprietà. Vediamo alcune definizioni ed una proprietà fondamentale, nella prossima animazione.

Riassumendo, il teorema appena visto ci garantisce che:[br][list][*][b]un angolo alla circonferenza è sempre pari alla metà dell'angolo al centro che insiste sullo stesso arco[/b].[/*][*]ne consegue che [b]tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali[/b] (sono la metà dello stesso angolo al centro)[br][/*][/list][br][b][color=#ff0000]Vogliamo utilizzare questa proprietà per studiare le proprietà dei triangoli, ed in particolare dei loro angoli[/color][/b].[br][br][b][color=#ff0000]Ma cosa centrano i triangoli con le circonferenze?[/color][/b] Lo vediamo nel prossimo paragrafo.[br][br][size=150][color=#0000ff][b]TUTTI I TRIANGOLI SONO INSCRIVIBILI IN UNA CIRCONFERENZA[/b][/color][/size][b][br]Dimostriamo allora che qualsiasi triangolo può sempre essere circoscritto in una circonferenza[/b], ovvero che esiste sempre una circonferenza che passa per i suoi tre vertici.

La dimostrazione è articolata in due parti[br][br][list=1][*]Conosciamo già l'elemento più importante della dimostrazione: é [b][color=#ff0000]l'[/color][/b][b][color=#ff0000]asse di un segmento, i cui punti come sappiamo sono equidistanti dagli estremi del segmento [/color][/b](questo dovrebbe ricordarci molto la circonferenza, perché anche i suoi punti sono tutti equidistanti, in questo caso dal centro della circonferenza stessa). [br]L'asse di un segmento è stato uno dei primi luoghi geometrici che abbiamo studiato, e prima di proseguire [color=#ff0000][b]puoi ripassarlo a questo indirizzo:[/b][/color] [color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/sV6phd5z#material/UaK8Sc8t]https://www.geogebra.org/m/sV6phd5z#material/UaK8Sc8t[/url][br][br][/color][/*][*]A questo punto [color=#ff0000][b]dobbiamo dimostrare che gli assi di un triangolo (cioè dei suoi tre lati) si incontrano sempre tutti nello stesso punto[/b][/color]; lo puoi vedere qui: [url=https://www.geogebra.org/m/sV6phd5z#material/TzB6iWKp][color=#0000ff]https://www.geogebra.org/m/sV6phd5z#material/TzB6iWKp[/color][/url]; in questa stessa dimostrazione viene detto e spiegato che tale punto di incontro si chiama CIRCOCENTRO, proprio perchè è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. [/*][/list][br][b][color=#ff0000]Abbiamo quindi dimostrato che ogni triangolo, avendo un circocentro, può essere inscritto in una circonferenza.[/color][/b] [size=100][size=150][color=#ff0000][b]C.V.D.[/b][/color][/size][/size] [br][br][b][size=150][color=#0000ff]I TRIANGOLI INSCRITTI IN UNA SEMICIRCONFERENZA SONO RETTANGOLI[/color][/size][/b][br]A questo punto vediamo un'ultima proprietà piuttosto curiosa: [color=#ff0000][b]tutti i triangoli inscritti in una semicirconferenza sono rettangoli.[/b][/color] Lo dimostriamo nell'animazione qui sotto.[br]

Questa importantissima proprietà è essenziale per dimostrare una legge fondamentale della trigonometria, detta [b][color=#ff0000]"teorema dei seni"[/color][/b]. Proseguiamo quindi il discorso nel geogebra book dedicato alle funzioni trascendenti, ed in particolare al capitolo sulle relazioni goniometriche e trigonometriche avanzate, in questa pagina: [br][url=https://www.geogebra.org/m/XJmWSY7D]https://www.geogebra.org/m/XJmWSY7D[/url]