Calcula áreas con integrales iteradas dobles con el orden de integración dy.dxVamos a considerar una región plana R acotada por:[img width=83,height=34]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-1.png[/img][img width=149,height=34]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-2.png[/img]Que representada gráficamente queda:[img width=490,height=311]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-3.png[/img]Esta región R está compuesta por infinitos rectángulos dx, representados como un rectángulo vertical:[img width=481,height=314]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-11.png[/img]Este rectángulo vertical dx tiene dos características muy importantes:[list=1][*]Se mueve horizontalmente entre los límites de x a y b.[/*][*]En función de su posición, va variando su altura adaptándose a las funciones g2(x) y g1(x), quedando siempre dentro de ambas funciones, por lo que su altura está limitada superiormente por la función que de arriba g2(x) e inferiormente por la función de abajo g1(x).[/*][/list]Por tanto, con este rectángulo podemos deducir los límites integración para la variable x, que son los dos límites entre los que se puede desplazar el rectángulo horizontalmente, por tanto, es por eso que el área de esa región viene dada por la integral definida:[img width=184,height=46]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-4.png[/img]Por otro lado, podemos reescribir el integrando g2(x)-g1(x) como una nueva integral definida, pero integrada para la variable «y».Vamos a ver cómo.Los límites de esta integral están determinados por la altura del rectángulo dx, es decir entre las funciones g2(x) y g1(x) y al ser «y» la variable de integración, el diferencial en este caso es dy:[img width=97,height=49]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-5.png[/img]Resolvemos esta integral utilizando la regla de Barrow y nos queda:[img width=98,height=34]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-6.png[/img][img width=125,height=29]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-7.png[/img]Por tanto, sustituyendo en la integral definida anterior el integrando g2(x)-g1(x), por la integral con respecto a «y», el área de la región R se puede expresar como la integral iterada:[img width=135,height=49]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-10.png[/img]El rectángulo vertical, implica el orden de integración dy .dx.[br][br]Calcula áreas con integrales iteradas dobles con el orden de integración dx .dyAnálogamente, podemos calcular el área de una región cambiando el orden de integración a dy.dx.En este caso, la región R está delimitada por:[img width=81,height=34]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-13.png[/img][img width=149,height=34]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-14.png[/img]Date cuenta de que ahora, las funciones entre las que está limitada la variable x, depende de «y».Y al igual que antes, esta región R está compuesta por infinitos rectángulos, pero esta vez los rectángulos son horizontales y corresponden a dy. Por tanto, dy se representa como un rectángulo horizontal:[img width=481,height=345]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-12.png[/img]Este rectángulo horizontal dy tiene dos características muy importantes:[list=1][*]Se mueve verticalmente entre los límites de «y» c y d.[/*][*]En función de su posición, va variando su longitud adaptándose a las funciones h2(y) y h1(y), quedando siempre dentro de ambas funciones, por lo que su longitud está limitada superiormente por la función que de arriba h2(y) e inferiormente por la función de abajo h1(y).[/*][/list]Por tanto, con este rectángulo podemos deducir los límites integración para la variable y, que son los dos límites entre los que se puede desplazar el rectángulo verticalmente.Los límites de integración para la variable x están determinados por la longitud del rectángulo, es decir, por ambas funciones.En este caso, el área de la región R se puede expresar como la integral iterada:[img width=135,height=49]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-15.png[/img]El rectángulo horizontal, implica el orden de integración dx .dy..[br][br]ntegrales iteradas dobles para el cálculo de áreasEn resumen, si queremos calcular el valor del área de una región en el plano mediante una integral iterada, está vendrá dada por:1- Si R está definida por:[img width=83,height=34]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-1.png[/img][img width=149,height=34]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-2.png[/img]donde g1 y g2 son contínuas en [a,b], entonces el área de R será:[img width=135,height=49]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-10.png[/img]2- Si R está definida por:[img width=81,height=34]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-13.png[/img][img width=149,height=34]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-14.png[/img]donde h1 y h2 son continuas en [c,d], entonces el área de R será:[img width=135,height=49]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-15.png[/img]¿Cómo sabemos qué integral iterada utilizar para el cálculo de áreas?Cuando las funciones entre las que se define el área vienen dadas en función de x, el rectángulo representativo del área será vertical y por tanto el orden de integración será dy.dx.Por otro lado, si las funciones vienen dadas en función de «y», el rectángulo representativo será horizontal y el orden de integración será dy .dx.No obstante, podemos cambiar el orden de integración modificando los límites de la región.Para cada problema en concreto, uno de los dos órdenes hará más sencillos los cálculos. El orden de integración elegido afecta a la dificultad de los cálculos, pero no al resultado. En cada caso, se elige el orden de integración más conveniente.Vamos a verlo con unos ejercicios resueltosEjercicios resueltos de cálculo de áreas con integrales iteradas doblesEjercicio resuelto 1Calcular el área delimitada por estas dos funciones mediante una integral iterada doble:[img width=77,height=29]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-16.png[/img][img width=72,height=27]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-17.png[/img]Como las funciones estás definidas en función de x, vamos a utilizar el orden de integración dy.dx[img width=135,height=49]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-22.png[/img]En primer lugar, vamos a calcular los puntos de corte de estas dos funciones, ya que los puntos de corte serán los límites de integración de al variable x, es decir, los límites entre los cuales se mueve horizontalmente el rectángulo vertical dx.Para hallar los puntos de corte, igualamos las dos funciones:[img width=104,height=29]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-18.png[/img]Nos queda una ecuación de segundo grado, por lo que pasamos todos los términos a un miembro e igualamos a cero:[img width=130,height=29]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-19.png[/img]Simplificamos términos:[img width=104,height=29]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-33.png[/img]Y resolvemos la ecuación. Las soluciones son:[img width=67,height=88]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-21.png[/img]Por lo que los límites para dx son -2 y 1. Siempre ponemos en el límite inferior el número menor y en el límite superior el límite mayor.Los límites para la variable «y», están definidos por la altura del rectángulo, que se mueve entre las dos funciones. La función que quede arriba será el límite superior y la que quede abajo el límite inferior.Para saber esto podemos dibujar ambas funciones:[img width=483,height=363]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-34.png[/img]Vemos que queda por encima la función:[img width=77,height=29]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-16.png[/img]Por lo que ésta será la que determine el límite superior y la otra función la que determine el límite inferior.También podemos sustituir el mismo valor de x para cada función y cuyo valor de la función sea mayor, será la función que quede por encima. Vamos a sustituir por ejemplo por x=0 en ambas funciones:[img width=220,height=96]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-35.png[/img]Vemos nuevamente que la función 4-x² da como resultado un valor mayor que x+2, por lo que queda demostrado que 4-x² es el límite superior.Por tanto, una vez que sabemos los límites, ya podemos escribir al integral iterada doble:[img width=135,height=49]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-22.png[/img]Que queda:[img width=148,height=47]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-23.png[/img]Ahora integramos primero la integral que queda dentro, es decir, la que depende de dy, mediante la regla de Barrow:[img width=149,height=46]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-24.png[/img]Sustituimos el resultado de la integral por el límite superior y le restamos el resultado de sustituir el resultado de la integral por el límite inferior:[img width=237,height=46]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-25.png[/img]Operamos dentro del paréntesis:[img width=195,height=46]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-26.png[/img][img width=188,height=46]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-27.png[/img]Nos queda una integral que depende de la variable x. Integramos aplicando la regla de Barrow:[img width=213,height=67]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-28.png[/img]Restamos sustituyendo el límite superior menos el límite inferior:[img width=459,height=63]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-29.png[/img]Operamos y llegamos a la solución:[img width=325,height=60]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-30.png[/img][img width=282,height=60]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-31.png[/img][img width=359,height=60]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/dobles-areas-32.png[/img]No te olvides que la solución debe estar en unidades cuadradas, ya que estamos calculando áreas.