Consideremos el campo vectorial descrito por la función [math]F\left(x,y\right)=\left\langle-y,x\right\rangle[/math][br][br]El campo luce de la siguiente manera

Pensado como una fuerza, este campo vectorial empuja objetos alrededor del origen en sentido contrario a las manecillas del reloj. [br][br]Por ejemplo, tal vez represente la fuerza debida al aire dentro de un tornado. Esto es poco realista porque implicaría que la fuerza aumenta continuamente conforme te alejas del centro del tornado, pero podemos eufemísticamente decir que es "un modelo simplificado" y continuar en nuestro alegre camino.[br][br]Supón que queremos calcular una integral de línea a través de este campo vectorial a lo largo de un círculo de radio 1 y centro en (2,0)

Cabe señalar que en este caso la orientación importa. El trabajo realizado por el campo de fuerzas del tornado, conforme caminamos en el sentido contrario a las manecillas del reloj, puede ser distinto del trabajo realizado conforme caminamos en el sentido de las manecillas del reloj (más adelante estudiaremos explícitamente esta cuestión).[br][br]Si escogemos considerar una caminata sobre este círculo en el sentido contrario a las manecillas del reloj, podemos parametrizar la curva con la función.[br][br][math]r\left(t\right)=\left\langle cos\left(t\right)+2,sin\left(t\right)\right\rangle[/math][br][br]donde t va de 0 a 2[math]\pi[/math][br][br]para construir la integral de línea que representa el trabajo, debes considerar el campo vectorial en cada punto, [math]F\left(x,y\right)[/math], y calcular su producto punto con un pequeño paso a lo largo de la curva [math]dr[/math]:[br][br]  [math]\int_cF\cdot dr[/math][br][br]¿Qué habría pasado si en el ejemplo anterior hubiéramos orientado el círculo en dirección de las manecillas del reloj? Por ejemplo, podríamos haberlo parametrizado con la función[br][br]    [math]r\left(t\right)=\left\langle cos\left(t\right)+2,-sin\left(t\right)\right\rangle[/math][br][br]En la integral[br][br]    [math]\int_cF\cdot dr[/math][br][br]cada vector [math]dr[/math] que representa un pequeño paso a lo largo de la curva apuntará en la dirección opuesta.[br][br][br][br]

Suponga que se tiene dos vectores [math]v[/math] y [math]w[/math], y que [math]v\cdot w=3[/math]. Volteamos [math]v[/math] para que apunte en la dirección opuesta, y obtenemos un nuevo vector [math]v_{nuevo}=-v[/math]. ¿Qué pasa con el producto punto?[br][br][math]v_{nuevo}\cdot w=\left(-v\right)\cdot w[/math][br] [math]=-\left(v\cdot w\right)[/math] [br] [math]=-3[/math][br][br]Ya que el producto punto dentro de la integral es multiplicado por -1−1minus, 1 cuando cambias la dirección de cada [math]dr[/math] podemos concluir que:[br][br][b]Punto clave a recordar[/b]: la integral de línea a través de un campo vectorial se multiplica por -1 cuando reviertes la orientación de la curva sobre la que integramos