מהגדרת הנגזרת ועד לפונקציית הנגזרת

Galit Nagari Haddif, Feb 27, 2015

הספר שלהלן יכול לשמש תלמידי תיכון הלומדים חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי בכל הרמות. מורה ותלמיד יכולים לבחור להשתמש בכולו או בחלקו, לפי צרכיהם. ניתן להשתמש בספר באופני שונים של הוראה ולמידה: יחידנית, קבוצתית וגם פרונטלית כאמצעי לחקר, המחשת רעיונות מסויימים. כמו כן ספר זה יכול להוות בסיס טוב לתלמידים שלומדים פיזיקה, למשל להבנת הקשר בין דרך, מהירות ותאוצה.

Table of Contents

  1. נגזרת של פונקציה בנקודה: על המשמעות הגאומטרית והאנליטית והקשר ביניהן
    1. מה קורה לפונקציה כאשר מתבוננים בפונקציה "מבעד למיקרוסקופ"?
    2. מיתר לפונקציה
    3. הגדרת המשיק לפונקציה
    4. הגדרה פורמלית של הנגזרת
    5. בחזרה למבט דרך המיקרוסקופ
    6. מבעד למיקרוסקופ - עם ערכים מספריים לדוגמא
  2. הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת הראשונה והשניה
    1. המעבר משיפוע הפונקציה בנקודה לאוסף שיפועים בנקודות
    2. הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת הראשונה
    3. הקשר בין גרף הפונקציה לנגזרת השניה
  3. תרגול הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת הראשונה
    1. מי הפונקציה ומי הנגזרת?
    2. מי הפונקציה ומי הנגזרת?
    3. מי הפונקציה ומי הנגזרת?
    4. מי הפונקציה ומי הנגזרת?
    5. סקיצה של פונקציה המקיימת תנאים מסויימים
  4. תרגול הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת השניה
    1. מי הפונקציה ומי הנגזרת השניה?
    2. מי הפונקציה ומי הנגזרת השניה
    3. מי הפונקציה ומי הנגזרת השניה?
  5. תרגול משולב: הקשר בין הפונקציה ושתי נגזרותיה
    1. זיהוי פונקציה ונגזרותיה הראשונה והשניה
    2. זיהוי פונקציה ונגזרותיה הראשונה והשניה
    3. קביעת נקודות ותחומים מיוחדים על סמך הנגזרת
    4. שרטוט פונקציה על סמך מגזרתה
  6. שאלון הערכה דיגיטלי
    1. קישורים לשאלון הערכה
  7. סיור וירטואלי בספר
    1. סרטון

1.

נגזרת של פונקציה בנקודה: על המשמעות הגאומטרית והאנליטית והקשר ביניהן

בפרק זה נתייחס לנגזרת של פונקציה בנקודה מהיבטים שונים: פירוש של הגדרת הנגזרת באמצעות משיק, באמצעות גבול של שיפוע מיתר. נקשר בין נקודות המבט השונות. נשתמש בטכנולוגיה על מנת לקשר בין הפירושים השונים ועל מנת להגדיל את הסביבה של הנקודה או לחלופין להקטין את המרחק בין שתי הנקודות על הפונקציה שקובעות את המיתר. הערות: -פרק זה מתאים בעיקר לתלמידי 5 יח"ל, אך אפשרי כהעשרה לתלמידי 4 יח"ל. -בשלב זה מניחים רציפות וגזירות של הפונקציה (ללא נקודות חוד וכו).

  • 1. מה קורה לפונקציה כאשר מתבוננים בפונקציה "מבעד למיקרוסקופ"?
  • 2. מיתר לפונקציה
  • 3. הגדרת המשיק לפונקציה
  • 4. הגדרה פורמלית של הנגזרת
  • 5. בחזרה למבט דרך המיקרוסקופ
  • 6. מבעד למיקרוסקופ - עם ערכים מספריים לדוגמא

1.1.

מה קורה לפונקציה כאשר מתבוננים בפונקציה "מבעד למיקרוסקופ"?

מה קורה כאשר מתבוננים בפונקציה "מבעד למיקרוסקופ"?[br]במערכת הצירים בצדו השמאלי של המסך מתוארת פונקציה, [color=#1551b5]נקודה על הפונקציה[/color], ו[color=#b20ea8]ישר העובר בנקודה זו[/color].[br]מערכת הצירים שבצדו הימני של המסך מספקת הגדלה של זו השמאלית בסביבת הנקודה.[br]הזיזו את הנקודה ושימו לב לשינויים[br]שערו: כיצד יראו שני הגרפים אם נגדיל עוד יותר את הצד הימני?[br]מיהו אותו הישר שגרף הפונקציה נראה דומה לו "מבעד למיקרוסקופ"? האם נוכל להעריך את שיפועו? האם קיימת דרך למצוא את משוואת ישר זה?
מה קורה לפונקציה כאשר מתבוננים בפונקציה "מבעד למיקרוסקופ"?
– Galit Nagari Haddif

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

2.

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת הראשונה והשניה

בפרק זה ננסה להבין שאוסף של השיפועים של המשיקים (השיפועים של הפונקציה) יוצרים בעצמם פונקציה חדשה שהיא הפונקציה של הנגזרת. ננסה לחקור את הקשר בין הפונקצהי לנגזרותיה מבחינת התחומי עליה וירידה, נקודות קיצון, קעירות כלפי מעלה וקעירות כלפי מטה. הערות: בשלב זה אנו מניחים שהפונקציה גזירה לפחות פעמיים. נכון להיות הקשר בין גרף הפונקציה לנגזרתה השניה כלול לתכנית הלימודים של 5 יח"ל. לכן לתלמידים הלומדים ברמות 3-4 יח"ל מומלץ להתייחס רק לפעילויות הקשורות לגרף הפונקציה ונגזרתה הראשונה.

  • 1. המעבר משיפוע הפונקציה בנקודה לאוסף שיפועים בנקודות
  • 2. הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת הראשונה
  • 3. הקשר בין גרף הפונקציה לנגזרת השניה

2.1.

המעבר משיפוע הפונקציה בנקודה לאוסף שיפועים בנקודות

בפרק הראשון התמקדנו בשיפוע הפונקציה בנקודה. כעת ננסה להבין מה קורה כאשר נזיז נקודה זו לאורך הפונקציה ונעקוב אחר שיפועי המשיקים. [br][b]בשרטוט הדינמי שלהלן מתוארות שתי מערכות צירים: אחת מעל השניה.[br][/b]במערכת הצירים העליונה מתוארת פונקציה ועליה נקודה. דרך נקודה זו העבירו משיק. בטבלה מתוארים ערכי הנקודה והשיפוע של הפונקציה בנקודה.[br]במערכת הצירים התחתונה מתוארים שיפועי הפונקציה המקורית בנקודה. [br]הזיזו את הסליידר של על מנת להזיז את הנקודה במרווחים מסויימים שעל הפונקציה (לחלופין ניתן ללחוץ על כפתור האנימציה בפינה השמאלית של מערכת הצירים העליונה).[br]לאחר שתתרשמו [b][color=#1551b5]מאוסף השיפועים (נקודות כחולות)[/color][/b] שתוארו במערכת הצירים התחתונה, סמנו בתיבת הסימון שלפונקציית הנגזרת[color=#c51414] (הפונקציה האדומה)[/color]. [br][br]מה גיליתם?
המעבר משיפוע הפונקציה בנקודה לאוסף שיפועים בנקודות
– Galit Nagari Haddif

2.2.

–

2.3.

–

3.

תרגול הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת הראשונה

  • 1. מי הפונקציה ומי הנגזרת?
  • 2. מי הפונקציה ומי הנגזרת?
  • 3. מי הפונקציה ומי הנגזרת?
  • 4. מי הפונקציה ומי הנגזרת?
  • 5. סקיצה של פונקציה המקיימת תנאים מסויימים

3.1.

מי הפונקציה ומי הנגזרת?

נתונים שני גרפים המתארים פונקציות. ידוע שאחת מהפונקציות היא נגזרתה הראשונה של הפונקציה האחרת. עליכם לזהות איזה גרף מתאר את הפונקציה ואיזה גרף מתאר את פונקציית הנגזרת.[br]בתשובתכם התייחסו במידת הצורך לנקודות ותחמים מיוחדים כגון: נקודות קיצון, פיתול חיתוך עם הצירים, תחומי עליה וירידה, חיוביות ושליליות וקעירות כלפי מטה ומעלה.
מי הפונקציה ומי הנגזרת?
– Galit Nagari Haddif

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

4.

תרגול הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת השניה

  • 1. מי הפונקציה ומי הנגזרת השניה?
  • 2. מי הפונקציה ומי הנגזרת השניה
  • 3. מי הפונקציה ומי הנגזרת השניה?

4.1.

מי הפונקציה ומי הנגזרת השניה?

נתונים שני גרפים המתארים פונקציות. ידוע שאחת מהפונקציות היא נגזרתה השניה של הפונקציה האחרת. עליכם לזהות איזה מהגרפים מתאר את הפונקציה ואיזה גרף מתאר את פונקציית הנגזרת השניה.[br]בתשובתכם התייחסו במידת הצורך לנקודות ותחמים מיוחדים כגון: נקודות קיצון, פיתול חיתוך עם הצירים, תחומי עליה וירידה, חיוביות ושליליות וקעירות כלפי מטה ומעלה
מי הפונקציה ומי הנגזרת השניה?
– Galit Nagari Haddif

4.2.

–

4.3.

–

5.

תרגול משולב: הקשר בין הפונקציה ושתי נגזרותיה

בפרק זה ניתן לתרגל את הקשר בין הפונקציה ושתי נגזרותיה הראשונה והשניה

  • 1. זיהוי פונקציה ונגזרותיה הראשונה והשניה
  • 2. זיהוי פונקציה ונגזרותיה הראשונה והשניה
  • 3. קביעת נקודות ותחומים מיוחדים על סמך הנגזרת
  • 4. שרטוט פונקציה על סמך מגזרתה

5.1.

זיהוי פונקציה ונגזרותיה הראשונה והשניה

..נתונים הגרפים של פונקציה ושתי נגזרותיה. יש להתאים את הגרפים לפונקציה, לנגזרת הראשונה ולנגזרת השניה[br]בתשובתכם התייחסו במידת הצורך לנקודות ותחמים מיוחדים כגון: נקודות קיצון, פיתול חיתוך עם הצירים, תחומי עליה וירידה, חיוביות ושליליות וקעירות כלפי מטה ומעלה.
זיהוי פונקציה ונגזרותיה הראשונה והשניה
– Galit Nagari Haddif

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

6.

שאלון הערכה דיגיטלי

  • 1. קישורים לשאלון הערכה

6.1.

קישורים לשאלון הערכה

[b]קישור לשאלון ברמת 3 יח"ל:[br][/b][color=#1551b5][br]https://docs.google.com/forms/d/18qBRD6rEp9rW0uA-preTTHxGIuJ_kO6N8RT8OQIE_A0/viewform?c=0&w=1[/color][br][br][b]קישור לשאלון ברמת 4-5 יח"ל:[br][/b][br]https://docs.google.com/forms/d/1NgQmdParkoWbfvLxVIPIxc4U4uYlyVQNjSS_4N1eLzI/viewform[br][br][b]קישור לשאלון ברמת 5 יח"ל:[br][/b][br]https://docs.google.com/forms/d/1MjqHTPDFIiejFOp8xRTYeF9Vwi2Z6oeGhA2vZ_I5yv4/viewform
קישורים לשאלון הערכה
– Galit Nagari Haddif

7.

סיור וירטואלי בספר

  • 1. סרטון

7.1.

סרטון

כדי להציג את הסרטון בגודל מלא, היכנסו לקישור הבא http://www.screencast.com/t/WnT52Ig10VJ
– Galit Nagari Haddif

Information